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1、从勾股定理到图形面积关系的拓展勾股树一、 教学目标1. 经历“以直角三角形的三边为边向外作三个正方形,其中两个小正方形的面积和等于第三个正方形的面积”的证明过程;2. 通过讨论、探索、理解只要以直角三角形的三边为边向外作三个形状相同的图形,其中两个小的面积和等于第三个图形的面积;3. 在相关学习中体验相关数学思想,培养合作学习能力.二、 教学重难点1. 重点:构造以直角三角形的三边为边向外作图形,使得两个小的面积和等于第三个图形的面积;2. 难点:归纳、总结只要以直角三角形的三边为边向外作三个形状相同的图形,其中两个小的面积和等于第三个图形的面积.三、 教学方法分组合作、上台展示等四、 教学过
2、程(一)欣赏“勾股树”观看视频“勾股树”,引入课题.设计意图:观看视频勾股树,体会数学美,激发学生探究“勾股树”的兴趣.(二)解密“勾股树”1.已知:ABC是以a,b为直角边,以c为斜边的直角三角形,以a,b, c为边向外作三个正方形, 它们的面积分别为S1,S2,S3 , (1)若a=3,b=1,你能得到S1,S2,S3 的关系吗?(2)若不知道确定的a,b,c的值,你还能得到S1,S2,S3 的关系吗?总结:以直角三角形的三边为边向外作三个正方形,其中两个小正方形的面积和等于第三个正方形的面积.2.如图是一颗美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形, 所有的三角形都是直角三角形. (1)若
3、正方形A,B,C,D的面积分别为1,2,5,2, 则最大的正方形E的面积是 . (2)若最大的正方形E的边长为7,则正方形A,B,C,D的面积之和为 . 设计意图:当“a=3,b=1”得到S1+S2=S3,到证明“不知道确定的a,b,c的值”时 S1+S2=S3,体现从特殊到一般的数学思想.(三)变形“勾股树”开放题:ABC是以a,b为直角边,以c为斜边的直角三角形,以a,b,c为边向外作三个 ,它们的面积分别为S1,S2,S3 ,则有S1+S2=S3 .请你给出验证过程. 设计意图:将原题以填空题的方式进行变式,将三个“正方形”变式成三个正三角形、等腰直角三角形、半圆、矩形等,来验证S1+S2=S3.其中变式成“矩形”时,引导学生比较后得出“构造的三个矩形必需是长和宽的比例一样”;变成“等腰直角三角形”时,引导学生分类讨论得出“以a,b,c为斜边”或“以a,b,c为直角边”这个注意点.小结:本节课我们学习了一个基本图形,在两个公式的推导下衍生出来的多个变式.设计意图:本节课用一个基本图形、两个公式、多个变式三句话来总结,一目了然.(四)翻折“勾股树”1.翻折后这些图形的面积之间有什么数量关系?S1+S2=S32. S1+S2+S7=S3+S4设计意图:以学生熟知的“蓝色面积红色面积=黄色面积”为背景,将黄色部分向上折叠,推导出图形面积的新的关系,水到渠成.