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1、2020高考数学考点预测11空间向量与立体几何空间向量与立体几何一、考点介绍i 利用向量处理平行咨询题空间图形的平行关系包括直线与直线的平行，直线与平面的平行，平面与平面的平行，它们都能够用向量方法来研究。方法如下：1设a,b是两条不重合的直线，它们的方向向量分不为a,b，那么a/b a/b。依照实数与向量积的定义：a/b a kb(k R,k 0)。2平面与平面平行能够转化两个平面的法向量平行：设两个不重合的平面，的法向量分不为a,b，那么 / a/b。3直线与平面平行能够转化为直线的方向向量与平面与平面的法向量垂直：设直线I在平面 外，a是I的一个方向向量，b是平面 的一个法向量，那么I
2、/ a b a b 0。4a/平面 表示以a为方向向量的直线与向量平行或在平面内，因此也能够由共面向量定理证明线面平行咨询题。2.利用向量处理垂直咨询题空间的线线、线面、面面垂直关系，都能够转化为空间内的两个向量垂直咨询题来解决。1设a,b分不为直线a, b的一个方向向量，那么a b a ba b 0 ;2设a,b分不为平面,的一个法向量，那么a ba b 0 ；3设直线1的方向向量为a，平面的法向量为b，那么Ia/b。3.利用向量处理角度咨询题在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等。关于a b角的运算，均可归结为两个向量的夹角。关于空间向量a,b，有cos a
3、,b，利|a|b|用这一结论，我们能够较方便地处理立体几何中的角的咨询题。求异面直线所成的角的关键在于求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，能够求两向量的坐标，也能够把所求向量用一组基向量表示，两向量的夹角范畴是0,，而两异面直线所成角的范畴是(0,?，应注意加以区分。直线I与平面 的夹角，是直线I的方向向量I与平面 的法向量n的夹角 锐设n,n2分不是二面角I的面，的法向量，那么Vn, n2 确实是所求二面角的平面角或其补角的大小。4 利用向量处理距离咨询题立体几何中涉及到距离的咨询题比较多，如两点的距离、点与线的距离、点与面的距离、角的余角，故有： sin cos|l IIna
4、rcs in|ll|n|线与面的距离、两异面直线的距离咨询题等等，它是数学学习中的一个难点。 此部分假设用向量来处理，那么思路较为简单，方法较为因定。1利用|AB| | AB| AB AB能够求有关距离咨询题；2设e是直线I上的一个单位方向向量， 线段AB在I上的投影是 A/B/，那么有| A/B/ | =| AB e |，由此可求点到线，点到面的距离。、高考真题1. 2018山东卷（20）（本小题总分值12分）如图，四棱锥RABCD底面ABCD菱形，P从平面ABCDABC 60 , E, F分不是BC PC的中点.I证明：AE! PD假设H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大 角的正切值
5、为 ，求二面角E AF- C的余弦值.2I证明：由四边形 ABCD为菱形，/ ABC60，可得厶ABC为正三角形.因为E为BC的中点，因此 AE! BC又 BC/ AD,因此 AE! AD因为PAL平面 ABCD AE 平面 ABCD因此 PAL AE而 PA平面PAD AD平面PAD且PAG ADA, 因此 AE!平面PAD又PD 平面PAD因此AE丄PD.解：设 AB=2, H为PD上任意一点，连接 AH EH 由I知AE!平面PAD那么/ EHA为EH与平面PAD所成的角在 Rt EAH中 , AE= .3 ,AE现在 tan / EHA因此当AH最短时，/ EHAt大， 即当AHI P
6、D时，/ EHAt大AH AH 2因此AH= 2 .又 AD=2 因此/ ADH45因此解法一：因为因此PA=2.PAL平面ABCD PA平面PAC 平面PACL平面ABCD过E作EOL AC于 O 那么EOh平面PAC过O作OSL AF于S,连接ES那么/ ESO为二面角E-AF-C的平面角,在 Rt AOE中 EO=AE- sin30 =- , AOAE- cos30 33：242又 F 是 PC的中点，在 Rt ASO中, SQAO sin45SE . EO2 SO2.304SO 在 Rt ESO中, cos / ESO=SE324.30.155以A为坐标原点，建立如下图的空间直角0,即
7、所求二面角的余弦值为丄55解法二：由I知 AE AD AP两两垂直, 坐标系，又E、F分不为BC PC的中点，因此E、F分不为BC PC的中点，因此A 0，0，0，B 73，-1，0，CC, 1,厂43D0, 2, 0, P0, 0, 2, EC , 3 , 0, 0，F,2因此Ae C3,0,0), AF3 1（丁）.设平面 AEF的一法向量为(xi, yi,zj,那么m A0,因此m AF 0,-3x10,31x1y122Z|0.取 Z11,则 m (0,2, 1),因为因此BD丄 AC, BDL PA PAP AC=A BD丄平面AFC1BD为平面AFC的一法向量.因此cos v m,.
8、面角E-AF-C为锐角,BD=-5因为$15因此所求二面角的余弦值为 52.2018江苏卷16 .在四面体 ABCD中，CB= CD, AD丄BD,且E ,F 求证：I直线EF /面ACD ;面 EFCL面 BCD .【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定. I： E,F分不是AB,BD的中点， EF 是厶 ABD 的中位线， EF/ AD,/ EF 面 ACD , AD 面 ACD，直线 EF/面 ACD .nT AD 丄 BD , EF/ AD, EF 丄 BD./ CB=CD, F 是 BD的中点， CF丄 BD.又 EFqCF=E BD丄面 EFC / BD 面
9、BCD 二面 EFCL面 BCD . 江西卷解：1证明：依题设，分不是AB,BD的中点,EF是ABC的中位线，因此EF / BC ,那么EF /平面OBC，因此EF /BiCi 又H是EF的中点，因此AHAH 丄 B1C1 因为OA丄OB , OA丄OC ,因此OA丄面OBC，那么OA丄B1C1,1丄EF ,那么因此B1C1丄面OAH 2作ON丄A1B1于N，连C1N。因为OG丄平面OA ,依照三垂线定理知， C1N丄A1B1 ,ONC1确实是二面角 OA B1 C1的平面角。作EM丄OB1于M ,那么EM/ OA，那么M是OB的中点，那么EM OM 1 设 OB1x，由MB13，解得x 3,
10、x 12在 Rt OABj 中，ABjOAi2OBi23飞，那么，ONOA1 OB1A1B1OCi因此 tan ONCion5 , 故二面角 O A1B1 G 为 arctan .一 5 。解法二：1以直线OAOC、OB分不为X、y、z轴，建立空间直角坐标系,xyz那么1 1A(2,0,0), B(0,0,2), C(0,2,0), E(1,0,1),F(1,1,0),H (1,？) AH ( 1,1),Oh*因此(1鳥),BC (0,2, 2)因此0,0因此BC 平面OAH由 EF / BC 得 3G / BC ,故：BjCj平面OAH由 A(|,0,0),设 Bi(0,0, z)那么(2,
11、0,i),EB!(由a1E与EB1共线得：存在1,0,z 1)R有AEEB1得12z 3 Bi(0,0,3)1 (z 1)同理：Ci(0,3,0)( |,0,3), AC*设ni那么cos(号30)(Xi,yi,zi)是平面AiBiCi的一个法向量，3x23x23z3y0 令 x 2得 y x 12,1,1).0(0,i,0)是平面OAiBi的一个法量1_込ni,n2 rri T因此二面角的大小为 arccos63R(2,1,1)。那么点B到平面A1B1C1的距离为3由2知，A(2,0,0) , B(0,0,2)，平面 AiBiCi 的一个法向量为 n； 那么 A1B( |,0,2)。3.20
12、18辽宁卷19.本小题总分值12分如图，在棱长为1的正方体ABCD ABCD中，AP=BQ=b0b1，截面PQEF AD , 截面PQGH ADI证明：平面 PQEI和平面PQG互相垂直；证明：截面 PQEI和截面PQGI面积之和是定值, 并求出那个值；川假设 D E与平面PQEF所成的角为45：，求D E与平面PQG所成角的正弦值.本小题要紧考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识, 考查空间想象能力与逻辑思维能力。总分值12分.解法一：I证明：在正方体中,AD AD , AD AB，又由可得PF / AD , PH / AD , PQ / AB ,B因此 PH PF , PH P
13、Q ,因此平面PQEF和平面PQGH互相垂直.因此PH 平面PQEF .n证明：由I知PF2AP, PH ,2PA ,又截面PQEf和截面PQG差不多上矩形，且PO1,因此截面PQEf和截面PQG面积之和是(、2ap Jpa) pq .2，是定值.III丨解：连结BC交EQ于点M因为 PH / AD , PQ / AB , 因此平面ABC D和平面PQGHS相平行，因此 D E与平面PQGH所成角与D E与平面 ABCD所成角相等.与I同理可证 EQL平面PQGH可知EML平面 ABCD，因此EM与 D E的比值确实是 所求的正弦值.设AD交PF于点N,连结EN由FD 1 b知DE . (1 b)22, ND2(1 b).2 2因为AD丄平面PQEF又D
