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1、简单多面体外接球球心的确定一、知识点总结1. 由球的定义确定球心长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.2构造长方体或正方体确定球心正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.若三棱锥的三个侧面两
2、两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.3. 由性质确定球心利用球心 O 与截面圆圆心O1 的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心 .二、典型例题1、已知点 P 、 A、B、C、D 是球 O 表面上的点，PA平面 ABCD ，四边形 ABCD 是边长为 2 3 的正方形 . 若 PA2 6 ，则OAB 的面积为多少？2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为多少？3、已知正三棱锥PABC ，点 P, A, B, C 都在半径为3 的球面上 . 若 PA, PB, PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为多少？4、三
3、棱锥 SABC 中， SA平面 ABC ， SA2 ，ABC 是边长为 1 的正三角形，则其外接球的表面积为多少？5、点 A、B、C、D 在同一个球的球面上，ABBC2 ， AC2 ，若四面体 ABCD 体积的最大值为2 ，则这个球的表面积为多少？36、四面体的三组对棱分别相等，棱长为5,34,41 ，求该四面体外接球的体积.7ABCD外接球的体积为4 3 ，求该四面体的体积.、正四面体8、若底面边长为2 的正四棱锥 PABCD 的斜高为 5 ，求此正四棱锥外接球的体积 .9、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 ，底面周长为，
4、则这个球的体积为.810、在等腰梯形ABCD 中， AB=2DC=2 ，DAB=60 0 ， E 为 AB 的中点，将ADE 与BEC 分布沿 ED 、 EC 向上折起，使 A 、B 重合于点 P ，则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为.11、已知球 O 的面上四点 A 、B、C、D，DA平面 ABC ，ABBC ，DA=AB=BC=3 ，则球 O 的体积等于.12、已知点 A 、B 、 C、 D 在同一个球面上，AB平面 BCD ， BCDC ，若AB 6,AC=2 13,AD=8 ，则 B、 C 两点间的球面距离是.三、几点补充1、设正方体的棱长为a ，求（ 1）内切球半径； （ 2）外接球半径； （ 3）与棱相切的球半径。（1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得Ra；2（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4 作截面图，圆O 为正方形EFGH的外接圆，易得R2a 。2（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA1 作截面图得，圆 O为矩形AA1C1C 的外接圆，易得RA1O32a 。图 1图 2图 32a ，O也是球心）、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为内切球半径为：r6a12外接球半径为：R6 a4
