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1、求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二.四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等 比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数 列。四求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法.五数列的本质是一个函数，
2、其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法1适用于：a = a + f（n）-这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法n+1n之一。2 .若 a - a = f (n) (n 2),n +1na -a = f (1)21a - a = f (2)32a - a = f(n)n +1n两边分别相加得a - a =2 f (n)n+11k=1例1已知数列a 满足a = a + 2n +1, a = 1，求数列a 的通项公式。nn +1n1n解：由 a = a + 2n +1 得 a 一 a = 2n +1 贝卩n +1nn +1na = (a a ) + (a a ) + + (a a ) +
3、(a a ) + annn1n1n232211=2( n 1) +1 + 2( n 2) +1+ (2 x 2 +1) + (2 x 1 +1) +1=2(n 1) + (n 2) + + 2 +1 + (n 1) +1=2 + (n 1) +12= (n1)(n+1)+1= n2所以数列a 的通项公式为a = n2 onn例2已知数列a 满足a = a + 2x3n +1, a = 3,求数列a 的通项公式。 nn +1n1n解法一:由 a = a + 2 x 3n +1 得 a a = 2 x 3n +1 则n+1nn+1na = (a a ) + (a a ) + + (a a ) +
4、(a a ) + annn 1n1n232211=(2 x 3n-1 +1) + (2 x 3n - 2 +1)+ (2 x 32 +1) + (2 x 31 +1) + 3=2(3n1 + 3n -2 + + 32 + 3化简有SnS：i=n，由类型(i)有Sn) + (n 1) + 3=23(1一32 + (n 一 1) + 31 3=3n3+n1+3= 3n + n 1所以 a = 3n + n1.n解法二：a = 3a + 2 x 3n +1两边除以3n+1 n+1naa2 1,故则一 n =+3n+13n33n+1aa3T = (3Taaaan1) + ( n1 n2 ) + ( n
5、2aa3n - 23n - 2n1n1_(21)(21 )(21 )(21 )333/33n-133n - /33/32( n 1) J1111、1= + ( + + + + ) +133n 3n 3n-1 3n - 2323n - 2a2(n -1) 3(1 3n1)因此3：=丄厂)+1=+1丄32 2 x 3n211贝 U a =x n x 3n +x 3n .n 322练习1。已知数列 的首项为1，a且 n +1n=a + 2n(n G *)写出数列Bn I的通项公式。答案：n 2 n +1练习2。已知数列an 满足ai = 31a = a +nn1n(n 1)(n 2)，求此数列的通项
6、公式。答案：裂项求和评注:已知an+1f，其中f (n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an。若 f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若f (n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。 *1nS=(a+ -a 0 n2nan且nn)S =2(s San2nn 1n得，求数列an 的通项公式。例3.已知数列an 中,S =(a +n 2 n 解:由已知+ )nn1又 S1 = ai得 ai = 1 所以 Sn2 =呼，又a 0 SnJ2n
7、( n +1)2,2n(n +1) 一 J2n(n 一 1)此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法1。适用于：a = f (n)a n+1n累乘法是最基本的二个方法之二。这是广义的等比数列2若 nJ = f (n)，则 = f(1)_3 = f(2)， aan1十=f (n) ana两边分别相乘得,卄=aa11k=1例4已知数列a 满足ann+1= 2(n +1)5n x a ，na1 = 3 ，求数列 an 的通项公式。解：因为 a= 2(n + 1)5n x a , a = 3 ,n1n+1所以 an则+1 = 2(n + 1)5n，故 anan1 an2aa =nnan 一1aa3 2
8、 a aa121=2( n 1 + l)5n-12( n 2 + l)5n - 2 .2(2 + 1)x 522(1+1) x 51 x 3=2n1 n( n 1)3 x 2 x 5( n1)+(n 一 2)+ + 2+1 x 3n ( n 1)=3 x 2ni x 5 2 x n!n (n1) 所以数列a 的通项公式为a = 3x 2n1 x5 2 x n!.nn3,)，则L (n + 112 一 na 2 + a a = 0/巾例 5.设 n 是首项为 1 的正项数列 ,且n+1nn +1 n( n =1,2它的通项公式是an =。(a+ a )kn +1)a na 1= 0解:已知等式可
9、化为：n+1nn+1nan+1a 一 na = 0n+1na n 一 1 n= an n 一1a-a a11aaa =1 - n1 n a an 1n 2评注：本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到 an与an+1的更为明显的关系式，从而求出an .练习。已知n+1二nan + 一 h a1 1，求数列an的通项公式。答案：n 二(n 一 1)Ka1 + D-1。评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式an+1二nan + 一 h转化为an+1 + 1二n(an + D若令bn二3 + 1，则问题进一步转化为+1二n形式，进而应用累乘法求 出数列的通
10、项公式.三、待定系数法 适用于a = qa + f (n)n +1n基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1.形如 an+1 二 Can + d，(C 丰 0，其中 a1 = a )型(1)若C=1时，数列 n 为等差数列；(2)若d=0时，数列为等比数列；(3)若C丰1Sd丰0时，数列 an 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列 来求.待定系数法：a +九=c（a + 九）n +1n，a = ca + (c 1)九a = ca + d, r得 n+1n，与题设 n+1n比较系数得ddd()_ 力九 _,(c 丰 0)a + _
11、 c(a +7)(c 1)A _ d，所以c 1所以有：n c 1n1 c 1U 亠a+二因此数列I c 1J构成以1 c 1为首项，以c为公比的等比数列,dddda +_ (a +) - cn1a _ (a +) - cn-1 所以 n c11 c1即: n 1 c1c1dd_+ d a += c(a +)dd_+ cn1 (a +)1 c1 c 1规律:将递推关系an+1 _ can + d化为+1c 1 n c 1 ,构造成公比为C的等比数列a +ac 1 从而求得通项公式 +1逐项相减法(阶差法)：有时我们从递推关系an+1二Can + d中把n换成n-1有an二n1 +,两式相减有a
12、n+1 an _ Bn nP从而化为公比为C的等比数列n+1 一 n ，进而求得通项公式。an+1 an _ (a2 a1)，再利用类型(1 )即可求得通项公式。我们看到此方法比较复杂。例6已知数列a 中，a _ 1,a _ 2a + 1(n 2)，求数列a 的通项公式。n1nn1n解法一: a 二 2a+ 1(n 2),nn1a +1 = 2(a +1)nn 1又Ta +1 = 2,.a +1是首项为2,公比为2的等比数列1n+ 1 = 2 n，即 a = 2 n 1n解法二： a=2a+ 1(n 2),n 1=2a +1n+1n两式相减得a a _ 2(a a )(n 2)，故数列a a 是首项为2,公比为2的等n +1nnn 1n +1n比数列，再用累加法的练习.已知数列3 中,a = 2, a111=a +,n+12 n 2求通项 a n 。a = (-) n-1 +1答案： n 22形如：n+1 = P - n + qn（其中q是常数,且n丰0,1）a =a + qn若 p=1 时,即: n+1n累加即可。若P丰1时，即：an+1 = P a求通项方法有以下三种方向:i。两边同除以 pn+1目的是把所求
