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1、实际问题与二元一次方程组教案教学设计 三维目标 会用二元一次方程组解决实际问题 培养学生应用方程解决实际问题的意识和应用数学的能力 将解方程组的技能训练与解决实际问题融为一体，进一步提高解方程组的技能 教学重点 探索用方程组解决实际问题的过程 进一步体会数学的方程建模方法，培养学生的数学应用能力 教学难点 用方程组建立数学模型的过程 教学过程 导入新课 从古老的鸡兔同笼问题，到大家喜欢的篮球、足球联赛问题，我们都可以通过方程组来刻画，这一点在本章开头我们已有所了解，今天，我们将进一步来探索用方程组解决现实生活中的问题 推进新课 活动出示投影片 探究: 养牛场原有只母牛和只小牛，天约需用饲料67
2、5kg；一周后又购进只母牛和只小牛，这时天约需用饲料945kg饲养员李大叔估计平均每只母牛天约需饲料20kg，每只小牛天约需饲料8kg，你能否通过计算检验他的估计？ 你如何设未知数？ 根据题中条件你能找到等量关系吗？ 根据等量关系你能列出方程组吗？ 根据你的运算判断李大叔估计的准确性如何 师：就上面问题，请同学们分组讨论 （教师可参与学生的小组讨论，多方听取学生意见，及时了解学生动态） 师生共析： 我们可以设平均每只母牛和每只小牛天各约需饲料和 母牛总头数每头母牛一天的食量小牛总头数每头小牛一天的食量天的饲料所需量 根据我们可以得到下列方程组： 对于上述方程组可用我们学过的两种方法来解 解法一
3、：由，得 将代入，得（） 解得 把代入，得原方程组的解为 解法二：可化为 可化为 ，得 将代入，得原方程组的解为 这就是说平均每只母牛天约需饲料5kg，而小牛是不吃饲料的，那小牛吃什么呢？原来它们有牛妈妈的奶呢 看来饲养员李大叔没有仔细观察，所以估计有偏差李大叔对母牛的食量估计偏低对小牛的食量估计过高 活动用同样的方法你能解决下列问题吗？ 有元，元，元的人民币共张，合计元，其中元张数与元张数相同，三种人民币各有多少张？ 问题（）：你准备设几个未知数？ 问题（）：你能根据题意列出方程组吗？ 问题（）：会解你列的方程组吗？ （给学生留有足够的思考时间，让他们体会实际问题与多元方程的联系） 分析结果
4、： （）三种币种，所以要设三个未知数设元的有张，元的有张，元的有张 （）“共有张”可列方程“合计元”可列方程“元张数与元张数相等”可列方程，所以可以得方程组 可我们没有学过三元一次方程组的解法 师启发：能否借鉴二元一次方程组的解法思路来解决它呢？“二元”能消为“一元”，那么“三元”能消成“二元”吗？ 生：用代入法和加减法都可以做到，变成“二元”就好办了原来转化思想如此奇妙！ 解：将分别代入，得 由，得 将代入，得（） 将代入，得原方程组的解为 议一议：设三个未知数，思考量是小了，但列出的方程组又多了我们能不能设两个元解决问题从题中的哪一句话可以考虑减元？ 讨论结果：“元与元的张数相同”，所以我
5、们可以设元、元分别有张，元有张，则有 我们用代入法或加减法都不难解出这个方程组的解为 答：元和元人民币各有张，元人民币有张 总结：对于解方程组关键在于理解其实质是消元，这样即使出现三元，甚至多元都不怕了我们只要一一消元，最终化归为熟悉的一元一次方程即可 再看一例，进一步体会解方程组中的消元思想 例：一些客人来到王某的店中住店，若每间房里安排人，则剩下个没地方住，若每间房里安排人，则空了一间房（其余房间住满），问有多少房间、多少客人？ 生讨论：设房间有间，客人有人，每间人余人，可列等式：；每间人空一间可列等式：（）这是以人数为标准列方程，也可以以房间为标准列方程，每间人余人：；每间人空一间：这样
6、做有分数，不如第一种方法好 解：设房间有间，客人有人， 则，解得 将代入，得 答：有个房间，个客人 课堂练习 解方程组 解：由，得（） 把代入，得，把代入，得课堂小结 本节课我们经历和体验了列方程解决实际问题的过程，体会到方程组是刻画现实世界的有效模型，亲身感受到应用数学的快乐，同时也提高了解方程组的技能；列方程组解应用题的关键是寻找等量关系 布置作业 习题 、 活动与探究有一种足球是由块黑白相间的牛皮缝制而成的（如图所示），黑皮可看作是正五边形，白皮可看作是正六边形，设白皮有块，黑皮有块，每块白皮有六条边，共条边，因为每块白皮有三条边与黑皮连在一起，故黑皮共有条边，要求出黑皮和白皮块数，列出
7、方程组正确的一组是（ ） 结果选 备课资料 一、孙子算经 孙子算经约成于四五世纪，作者生平和编写年代都不清楚现在传本的孙子算经共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间的制度和筹算乘除的法则卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法卷子第三十一题，可谓后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算”具有重大意义的卷子第二十六题，今有物不知其数，三三数七剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰二十三孙子算经不仅提供了答案，而且给出解法 南宋数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作，推广了物不知数问题，德国数学家高斯于年出版了算术研究明确地写出上述定理公元年，英国基督教传教士伟烈亚士
8、将孙子算经“物不知数”问题传到欧洲公元年，马蒂生指出孙子的算术，符合高斯定理，从而数学史上将一个定理称为“中国剩余定理” 二、丞相买鸡和不定方程 传说，我国古代有一位丞相给仆人元钱，收他买回一百只鸡 仆人到市场一打听，原来公鸡、母鸡、小鸡的价钱不一样公母每只元，母鸡每只元，小鸡元只仆人想：我拿这一百元钱买多少只公鸡，多少只母鸡，多少只小鸡才恰好凑够一百只鸡呢？仆人算了半天也没算出来 咱们来帮助仆人算一算，买多少只公鸡、母鸡、小鸡恰好凑够一百只鸡 设公鸡为只，母鸡只，小鸡只 由题目所给的条件可以列出方程组 这个方程有点特殊，有三个未知数，方程只有两个，像这样未知数的个数多于方程的个数的方程或方程
9、组叫“不定方程” 丞相买鸡就是一道不定方程问题解这个方程时，可以把其中一个未知数移到方程的右端得 再适当给一些数值，比如令，由方程组 解得，也就是说用一百元可以买只公鸡，只母鸡，只小鸡 答案不止这一组可以令得方程组 解得，就是说还可以买只公鸡，只鸡母，只小鸡 同样还可以得到第三组解：只公鸡，只母鸡和只小鸡 值是否任意给定呢？不行当我们把的值取的小于或大于时，鸡数就会出现负数了；我们取和之间的其他数时，鸡数会出现分数 如果我们不考虑实际问题的条件限制，不定方程一般有无穷组解人生最大的幸福，莫过于连一分钟都无法休息 零碎的时间实在可以成就大事业 珍惜时间可以使生命变的更有价值 时间象奔腾澎湃的急湍
10、，它一去无返，毫不流连 一个人越知道时间的价值，就越感到失时的痛苦 得到时间，就是得到一切 用经济学的眼光来看，时间就是一种财富 时间一点一滴凋谢，犹如蜡烛漫漫燃尽 我总是感觉到时间的巨轮在我背后奔驰，日益迫近 夜晚给老人带来平静，给年轻人带来希望 不浪费时间，每时每刻都做些有用的事，戒掉一切不必要的行为 时间乃是万物中最宝贵的东西，但如果浪费了，那就是最大的浪费 我的产业多么美，多么广，多么宽，时间是我的财产，我的田地是时间 时间就是性命，无端的空耗别人的时间，知识是取之不尽，用之不竭的。只有最大限度地挖掘它，才能体会到学习的乐趣。 新想法常常瞬息即逝，必须集中精力，牢记在心，及时捕获。 每天早晨睁开眼睛，深吸一口气，给自己一个微笑，然后说：“在这美妙的一天，我又要获得多少知识啊！” 不要为这个世界而惊叹，要让这个世界为你而惊叹！ 如果说学习有捷径可走，那也一定是勤奋。 学习犹如农民耕作，汗水滋润了种子，汗水浇灌了幼苗，没有人瞬间奉送给你一个丰收。 藏书再多，倘若不读，只是一种癖好；读书再多，倘若不用，只能成为空谈。 学习好似一片沃土，只要辛勤耕耘，定会有累累的硕果；如若懒于劳作，当别人跳起丰收之舞时，你已是后悔莫及了。 不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步，学习的成功与失败原因是多方面的，要首先从自己身上找原因，才能受到鼓舞，找出努力的方向
