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1、1.极限存在条件limf(x)Af(x0)f(x0)AxX02 .法则1(夹逼法则)若在同一极限过程中，三个函数fi(x)、f2(x)及f(x)有如下关系f(x1)f(x)f(x2Wlimf(x1)limf(x2)A则limf(x)A3 .法则2(单调有界法则)单调有界数列一定有极限4 .无穷小定理limf(x)Alimf(x)A0以一A为无穷小，则以A为极限。性质1有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小性质2有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小.性质3在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.5 .高阶同低阶无穷小，假设，是同一变化过程中的两个无穷小，且0.(1)如果
2、lim0,就说是比较高阶的无穷小，记作o()(2)如果lim，就说是比较低阶的无穷小，或者说是比较高阶的无穷小；(3)如果limC(C0),就说与是同阶的无穷小；C=1时，为等价无穷小。(4)如果limrC(C0,k0),就说是的k阶的无穷小6 .若limf(x)A,limg(x)B,则有(1) limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB(2)limf(x)?g(x)limf(x)?g(x)A?Bf(x)limf(x)A(3)lim(B0)g(x)limg(x)B若lim推论若limf(x)存在，而c为常数，则limcf(x)climf(x)f(x)存在，而n为正整数，则limf(
3、x)nlimf(x)n例题limx2limx1x*2x17.所以当a。0,b00,m和n为非负整数时有mm1a0xa1xlim-nn-1xboxbxambn包，当nbo0,当n，当nm,m,m,8.例题求limx(vx2xx)limx(,x2xx)limxx(x22x)(x22x)x22x一2xlimx.x22xlimx2122x一=119.两个重要的极限lxm0sinx1.1limxsin=1sinmx例题求limx0sinnxsinmxlimx0sinnxlimmx0nsinmxmxnxsinnxmsinmx一limnx0mx+1求limxsinlimnxmx0sinnxn“1一一令t1,
4、则当xx时,t10.所以limxsinsintt1xlim(1)1elim(1x)xex0例题求lim(12)3xlim(1-)3xlim(1x2一)x2(：)(3X)lim(1x2I-)2x例题2求lim(x1)x1lim(x1)xlim(1xlimx(1)212(122e?1e(1解法2limx(11)xx1)xxlim(1-)xlim(11)x110.函数在一点连续的充分必要条件(1)f(x)在点x0处有定义;(2)limf(x)存在；(3)limxXoxXof(x)f(xo).函数f(x)在x0处连续是函数f(x)在x011.处既左连续又右连续.12.满足下列三个条彳之一的点x0为函数
5、f(x)的间断点.(1)f (x)在点 x0没有定义；(2) lim f (x)不存在；(3) lim f (x)存在，但 lim f (x) f (x0).x x0x x0x x0跳跃间断点如果f(x)在点x0处左，右极限都存在，但lim f (x) lim f (x),则称点x0为函数f (x)的跳跃问x Xo断点.可去间断点如果f (x)在点x0处的极限存在，但lim f (x) Af (x0),或f (x)在点x0处无定义，则x Xo称点x0为函数f(x)的可去问断点.跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点为 左右极限都存在第二类间断点 左右极限至少有一个是不存在的第二类间断点
6、中包括无穷间断点(有一段的极限为正或负无穷)1辰汤间断点(lim sin )x 0 x口 ln(1 x)13.例题求lim -x 0 x原式 lim ln(1 x)1x ln e=114 .(最值定理)若函数f (x)闭区间a,b上连续，则 y f (x)在闭区间a,b上必有最大值和最小值.(有界性定理)若函数f(x)闭区间a,b上连续，则其在闭区间上必有界(介值定理)若函数y f(x)闭区间a,b上连续，则对介于 f(a)和f(b)之间的任何数C,至少存在一个(a,b),使得f( ) c 根的存在定理 两侧异号 至少有一根。. 一，、 J ，、15 .函数在一点可导的充分必要条件为：f (X
7、o)f (Xo)16 .可导的函数一定是连续的连续不一定可导17 . |导数(cos x) sin x2sec x.(ex)ex12 ;X(C)0.(log a x)(secx)常数的导数是零.(xn)1xln asecxtan x(arcsin x)一1-.1 x2n nx(sin x)cosx(ln x) 1 x(cot x)2csc x.(tan x)(csc x) csc x cot x.(arccos x)1 x2x (a )ax ln a(arctan x) -，、1(cotx)2.反函数的导致等于直接函数导数的倒数1x(1)u(x)v(x)u(x)v(x);(2)u(x)v(x)
8、u(x)v(x)u(x)v(x);(3)瑞u (x)v(x) u(x)v (x)v2(x)(v(x)(1) (UiU2 Un)UiU2Un(3) (U1U2Un)UiU2Un U1U2Un0)(2) (Cu) CuU1U2 Un因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.(锁链法则)yf(u)(v)(x)22隐函数求导法则两边对X求导例题已知函数y是由椭圆方程喜221所确定的求ya2b2方程两边分别关于x求导，由复合函数求导法则和四则运算法则有勺2y0解得b2x y -a y，- y例题2 e xya2b2yyeyyxyyex对数求导法先在方程两边取对数然后利用隐函
9、数的求导方法求出导数例题 y 3 j(x 1)(x 1 2)- (x 3)(x 4)高阶导数 y sin x y(n)sin(x n2)(cosx) cos(x n )1Iny-ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)311,1111、一y-()y3x1x2x3x4函数f(x)在点x0可微的充要条件是函数f(x)在点x0处18.可导，且Af(x0).即可导可微.Af(xo).19.基本初等函数的微分公式、1d (arctan x) 2 dx d (arc cot x)1 xTJ7dxd(C) 0d (sin x) cosxdx2d (tan x) sec xdxd (secx) sec
10、xtan xdxd(x ) d(cosx)d (cot x) d(cscx)x 1dxsin xdxcsc xdxcscx cot xdxd(ax) axlnadxd(ex)exdxd(lOga x)d (arcsin x)-dxxln a-1dx,1 x2，“、1，d (ln x) dxxd(arccosx)-1dxx220.函数和、差、积、商的微分法则d (u v) du dvd(uv) vdu udvd(Cu) Cdu“u、 vdu udvd(-)v v例题设y1 3x ecosx,求dy. dy cosx d(e13x 1 3x)e d (cos x)/ 1 3x(e )3e13x(c
11、osx) sin x dycosx ( 3e1 3x)dx e1 3x ( sin x)dxe1 3x(3cosxsin x)dx微分形式不变性微分形式始终为 dy f (x)dx21. Lagrange中值定理如果函数f (x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)上可导，则在(a,b)内至少存在一点，使下面等式成立f(b) f (a) f ( )(b a)推论如果对于任息x (a,b),有f (x)0,则f(x) c(c为常数)如果对于任意x (a,b),有f(x)g(x)，则 f(x) g(x) c(c为常数)例题证明arcsinx arccosx 设 f(x) arcsin x ar
12、ccosx(x)1(,1 x2 (1、八，、一、八八)0f(x)C又f(0)arcsin0arccos0,1x20即Carcsinxarccosx一222222.0型及一型未定式解法：洛必达法则0如果函数f(x)与g(x)满足下列三个条件0/08/00,导数都存在且g(x)0,limUx）存在或者无穷大g（x）则当x x0或xf (x) 则有lim(-)g(x)limf (x)g (x),00,1,0型未定式解法00.00ln0取对数ln1.例题1lim (x)x xlimxlimx11nx exlnlimx1ln x xlimxln xlimx1lim (x)x xlim 21nxx洛必达法
13、则不是万能的limxxexexex e.洛必达不能求解xx.e e lim -xx e elimx2x1 e2 2x1 e1 （两边同乘以e x）23.可导函数的的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点.（驻点为可导但是导数值为0的点）函数的不可导点，也可能是函数的极值点判断是否为极值点要计算驻点两侧倒数的符号是否不同求驻点处的二阶导数若二阶导数为正值则为极小值负值则为极大值为零则不能判断24.二阶导数为正值则为凹的负值则为凸的分界点为拐点在拐点处二阶导数为零或二阶导数不存在讨论极值点和拐点渐近函数作图求定义域函数的奇偶性和周期性求一阶和二阶导数列表25. kf(x)dxk f (x)dxf
