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1、本科毕业论文论文题目： 多元函数极值的判定及应用 学生姓名： 学号： 专业： 数学与应用数学 指导教师： 学 院： 年 月 日毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）题 目多元函数极值的判定及应用选题时间完成时间论文（设计）字数关 键 词多元函数；极值；充要条件 ；条件极值；拉格朗日乘数法；论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：论文题目的来源：自选题目理论与实践意义：论文（设计）的主要内容及创新点：主要内容：主要创新点：附：论文（设计）本人签名： 年 月 日目 录中文摘要1英文摘要11引言22多元函数极值理论23多元函数极值判定34. 多元函数条件极值的解法45. 多元函数极值应用5参考文献 1
2、0多元函数极值的判定及应用【摘要】：多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，本文主要讲解多元函数极值理论，多元函数极值判定，多元函数条件极值的解法，以及探讨多元函数条件极值在证明不等式及部分日常生活所遇到的问题上的应用.【关键词】：多元函数；极值；充要条件 ；条件极值；拉格朗日乘数法；The determination and application of multivariate function extreme valueAbstract：Conditional extreme value of pluralistic function is multivariate differ
3、ential calculus important component, this paper mainly on extreme value of multivariate function extreme value of multivariate function theory, judgment, the conditional extreme value of pluralistic function method, and to investigate the conditional extreme value of pluralistic function in the proo
4、f of inequality and a part of daily life problems encountered on the application.Key words: Multivariate function extreme value; necessary and sufficient condition of conditional extremum; the Lagrange multiplier method;1. 引言 本文主要讲解多元函数极值在日常生活中的应用，从中我们深刻的体会到学习多元函数极值的重要性。求解多元函数极值的方法很多，针对不同的题目要求，我们应该选
5、择一种既简便易行又节省时间的方法。在本文中给出了二元函数极值的一阶偏导判别法，在求解时避免了求高阶偏导的麻烦和函数在稳定点处无定义所带来的麻烦， 还讨论了条件极值及 n元函数极值的处理方法等问题。旨在本文中所提到的方法能为今后的学习和实际工作带给一定的方便。2. 多元函数极值的基本理论定义 设元函数在点的某个邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于的点都有(或)，则称函数在点有极大值(或极小值).极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。定义 函数在个约束条件 下的极值称为条件极值。3. 多元函数极值的存在性及判定（必要条件）若元函数在点 存在偏导数，且在该点取得极值，则有 备注：使
6、偏导数都为的点称为驻点，但驻点不一定是极值点。定 理 （充分条件）设元函数在附近具有二阶连续偏导数，且为 正定时，为极小值；当负定时，为极大值；当不定时，不是极值.记，并记 ，它称为的阶正负定的判断有如下定理：若 ，则二次型是正定的，此时为极小值；若 ，则二次型是负定的，此时为极大值.特殊地，当时，有如下推论：若二元函数某领域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 令 则 当时，. 当时，没有极值.当时，不能确定，需另行讨论.4. 多元函数条件极值的解法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.求目标函数在条件函数 组限
7、制下的极值，若及有连续的偏导数，且Jacobi矩阵的秩为，则可以用拉格朗日乘数法求极值.首先，构造拉格朗日函数然后，解方程组从此方程组中解出驻点的坐标 ，所得驻点是函数极值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值.定理（充分条件） 设点及个常数满足方程组 ，则当方阵 为正定（负定）矩阵时，为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此 为满足约束条件的条件极小（大）值.例求函数在条件()下的极值.分析:通过求简单函数的极值点从而达到求复杂函数极值点的方法,是在实际解题中经常使用的.解 先求令得驻点又由 ,故为即的极大值点, 此时.说明：以上介绍的方法为解多元函数条件极值的常用方法，但在实际解题过程中，我
8、们还可以根据多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题，如标准量代换法、不等式法、二次方程判别式法、梯度法、数形结合法.5. 多元函数极值的应用多元函数条件极值在不等式证明、物理、生产销售、证券投资分析、多元统计分析学里判别分析和主成分分析等问题上都有广泛的应用.下面只讨论条件极值在不等式证明、物理学、生产销售上的应用.5.1 不等式证明例证明不等式：.证 令，则只需证明函数在区域上存在最小值，对于，令，得，且当时，当时，.由一元函数取极值的第一充分判断法，为最小值点，即在曲线上取得最小值，最小值.故在上，即.5.2 物理学中光的折射定律证明例设定点和位于以平面分开的不同光介质中，从点射
9、出的光线折射后到达 点，已知光在两介质中的传播速度分别为，求需时最短的传播方式.解 设到平面的距离为，到平面的距离为，（如图），光线从点射到点所需时间为，光线从点射到点所需时间为且，即问题转化为函数在条件 下的最小值.作拉格朗日函数令 由此解得，即光线的入射角与折射角应满足：（光的折射定律）时光线传播时间最短.5.3 生产销售在生产和销售商品的过程中，销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增加，但同时也使消费者的购买欲望下降，造成销售量下降，导致厂家消减产量.但在规模生产中，单位商品的生产成本是随着产量的增加而降低的，因此销售量、成本与售价是相互影响的.厂家要选择合理的销售价格才能获得最大
10、利润. 用条件极值得出生产成本最小化方案例.1设生产某产品需要原料A和B，它们的单价分别为10元、15元，用单位原料A和单位原料B可生产单位的该产品，现要以最低成本生产112单位的该产品，问需要多少原料A和B？【分析】由题意可知，成本函数.该问题是求成本函数在条件下的条件极值问题，利用拉格朗日常数法计算.解 令解方程组 这是实际应用问题，所以当原料A和B的用量分别为4单位，2单位时，成本最低.利用条件极值得出利润最大化方案例.1为销售产品作两种方式广告宣传，当宣传费分别为时，销售量是，若销售产品所得利润是销量的减去广告费，现要使用广告费 25万元，应如何分配使广告产生的利润最大，最大利润是多少
11、？解 依题意，利润函数为且 设 令 得 依题设，存在最大利润，又驻点唯一，因此两广告分别投入15万元和10万元利润最大.例.2 一家电视机厂在对某种型号电视机的销售价格决策时面对如下数据：（1）根据市场调查，当地对该种电视机的年需求量为100万台；（2）去年该厂共售出10万台，每台售价为4000元；（3）仅生产1台电视机的成本为4000元；但在批量生产后，生产1万台时成本降低为每台3000元.问：在生产方式不变的情况下，每年的最优销售价格是多少？数学模型建立如下：设这种电视机的总销售量为，每台生产成本为，销售价格为，那么厂家的利润为 根据市场预测，销售量与销售价格之间有下面的关系： 这里为市场
12、的最大需求量，是价格系数（这个公式也反映出，售价越高，销售量越少）.同时，生产部门对每台电视机的成本有如下测算： 这里是只生产1台电视机时的成本，是规模系数（这也反映出，产量越大即销售量越大，成本越低）.于是，问题化为求利润函数 在约束条件 下的极值问题.作Lagrange函数 就得到最优化条件 由方程组中第二和第四式得到 ，即将第四式代入第五式得到 再由第一式知 .将所得的这三个式子代入方程组中第三式，得到 由此解得最优价格为 只要确定了规模系数与价格系数，问题就迎刃而解了.，.由于去年该厂共售出10万台，每台售价为4000元，因此得到 ；又由于生产1万台时成本就降低为每台3000元，因此得到 .将这些数据代入的表达式，就得到今年的最优价格应为 （元/台）.翻译结果重试抱歉，系统响应超时，请稍后再试 支持中英、中日在线互译 支持网页翻译，在输入框输入网页地址即可 提供一键清空、复制功能、支持双语对照查看，使您体验更加流畅参考文献：1 唐军强.用方向倒数法求解多元函数极值J.科技创新导报，2008，（15）：246-2472 汪元伦.两类多元函数条件极值的简捷求法J.绵阳师范学院学报，2008，27（2）：14-15.
