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1、 9（2012绍兴）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求
2、的一种情况）10（2012绍兴）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x24x2经过A，B两点（1）求A点坐标及线段AB的长；（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒当PQAC时，求t的值；当PQAC时，对于抛物线对称轴上一点H，HOQPOQ，求点H的纵坐标的取值范围11（2012陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形
3、”（1）“抛物线三角形”一定是_三角形；（2）若抛物线y=x2+bx（b0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，OAB是抛物线y=x2+bx（b0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由12（2012山西）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P
4、、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐标9（2012绍兴）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有
5、一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用。菁优网版权所有分析：（1）假设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（402x）2=484，求出即可；假设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：y=4（402x）x，利用二次函数最值求出即可；（2）假设剪掉的正方形的边长为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，得出等式方程求出即可解答：解：（1）设剪掉的正方形的边长为xcm则（40
6、2x）2=484，即402x=22，解得x1=31（不合题意，舍去），x2=9，剪掉的正方形的边长为9cm侧面积有最大值设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：y=4（402x）x，即y=8x2+160x，即y=8（x10）2+800，x=10时，y最大=800即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm2（402x）（20x）+2x（20x）+2x（402x）=550，解得：x1=35（不合题意，舍去），x2=15剪掉的正方形的边长为15cm此时长方体盒子的长为15cm，宽
7、为10cm，高为5cm点评：此题主要考查了二次函数的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出函数关系式是解决问题的关键10（2012绍兴）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x24x2经过A，B两点（1）求A点坐标及线段AB的长；（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒当PQAC时，求t的值；当PQAC时，对于抛物线对称轴上一点H，HOQPOQ，求点H的纵坐标的取值范围考点：二次函数综合题。菁优网版权所有专题：压轴
8、题；动点型；分类讨论。分析：（1）已知抛物线的解析式，将x=0代入即可得A点坐标；由于四边形OABC是矩形，那么A、B纵坐标相同，代入该纵坐标可求出B点坐标，则AB长可求（2）Q点的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上 三段来分析，若PQAC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形），利用比例线段来求出t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去；当PQAC时，BPQBAC，通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标，可判定P点在抛物线的对称轴上，若P、H1重合，此时有H1OQ=POQ，显然若做点H1关于OQ的对称点H2，那么亦可得到H2
9、OQ=POQ，而题干要求的是HOQPOQ，那么H1点以下、H2点以上的H点都是符合要求的解答：解：（1）由抛物线y=x24x2知：当x=0时，y=2，A（0，2）由于四边形OABC是矩形，所以ABx轴，即A、B的纵坐标相同；当y=2时，2=x24x2，解得x1=0，x2=4，B（4，2），AB=4（2）由题意知：A点移动路程为AP=t，Q点移动路程为7（t1）=7t7当Q点在OA上时，即07tt2，1t时，如图1，若PQAC，则有RtQAPRtABC=，即，t=，此时t值不合题意当Q点在OC上时，即27t76，t时，如图2，过Q点作QDABAD=OQ=7（t1）2=7t9DP=t（7t9）=9
10、6t若PQAC，则有RtQDPRtABC，即=，t=，t=符合题意当Q点在BC上时，即67t78，t时，如图3，若PQAC，过Q点作QGAC，则QGPG，即GQP=90QPB90，这与QPB的内角和为180矛盾，此时PQ不与AC垂直综上所述，当t=时，有PQAC当PQAC时，如图4，BPQBAC，=，=，解得t=2，即当t=2时，PQAC此时AP=2，BQ=CQ=1，P（2，2），Q（4，1）抛物线对称轴的解析式为x=2，当H1为对称轴与OP的交点时，有H1OQ=POQ，当yH2时，HOQPOQ作P点关于OQ的对称点P，连接PP交OQ于点M，过P作PN垂直于对称轴，垂足为N，连接OP，在RtO
11、CQ中，OC=4，CQ=1OQ=，SOPQ=S四边形ABCDSAOPSCOQSQBP=3=OQPM，PM=，PP=2PM=，NPP=COQRtCOQRtNPP，PN=，PN=，P（，），直线OP的解析式为y=x，OP与NP的交点H2（2，）当yH时，HOPPOQ综上所述，当yH2或yH时，HOQPOQ点评：函数的动点问题是较难的函数综合题，在解题时要寻找出关键点，然后正确的进行分段讨论，做到不重复、不漏解11（2012陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”（1）“抛物线三角形”一定是等腰三
12、角形；（2）若抛物线y=x2+bx（b0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，OAB是抛物线y=x2+bx（b0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题。菁优网版权所有专题：代数几何综合题；新定义。分析：（1）抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等
13、量关系来列方程解出b的值（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA=OB，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b表示出AE、OE的长，通过OAB这个等边三角形来列等量关系求出b的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式解答：解：（1）如图；根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA=AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形故填：等腰（2）抛物线y=x2+bx（b0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，该抛物线的顶点（，）满足=（b0
14、）b=2（3）存在如图，作OCD与OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形当OA=OB时，平行四边形ABCD是矩形，又AO=AB，OAB为等边三角形作AEOB，垂足为E，AE=（b0）b=2A（，3），B（2，0）C（），D（2，0）设过点O、C、D的抛物线为y=mx2+nx，则，解得故所求抛物线的表达式为y=x2+2x点评：这道二次函数综合题融入了新定义的形式，涉及到：二次函数的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，难度不大，重在考查基础知识的掌握情况12（2012山西）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究
