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1、直线与圆知识点归纳直线与方程 1直线的倾斜角 规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为 0范围：直线的倾斜角的取值范围为0,）2.斜率：k tan (a )， k R斜率公式：经过两点 PSxyi），P2（x2,y2） （xi x2）的直线的斜率公式为 kPlP22-3直线方程的几种形式名称方程说明适用条件斜截式ykxbk是斜率b是纵截距与X轴不垂直的直线点斜式yy。k(xX0)（X0, y）是直线上的已知点两点式yy1xX1（花，）,（X2, y2）是直线上与两坐标轴均不垂直y2yiX2X1的两个已知点的直线（人X2, y1y2)截距式xy_1a是直线的横截距不过原点且与两坐标abb是
2、直线的纵截距轴均不垂直的直线一般式AxByC0当B 0时，直线的横截距(A2B20)为CA当B 0时，所有直线ACC,分别为直线BAB的斜率、横截距，纵截距能力提升斜率应用 例2已知实数x, y满足y X2 2x 2( 1 x 1)，试求 丄卫的最大值和最小值例1已知函数f（x）log2(x 1)且 a0,则f(a) f(b) f (c)的大小关系x 2相交，交点坐标为方程组yk2xbi 或 Ax Biy b2 或 A2x B2yCiC2宀护方 位置大糸li : y kix bi l2: y k2x b211 : Ax Biy Ci 012 : A2 x B2y C20平行kik2，且 bib
3、2ABiCi (Ai B2-A2Bi=0)a2b2c2重合kik2，且 bi b2AiBi CiA2 B2 c2相交kik2AiBiA2B2垂直ki k2iAi A2Bi B20两直线位置关系两条直线的位置关系设两直线的方程分别为:h： Ax ByB?y11 : y y b 或12 : y k2x b2 l2 ： A2xC 0C 0 ；当kik2或AiB2A2 Bi时它们直线间的夹角:若为“到12的角，ta nk2 i k2K或ta nA, B2 A2 BA| A? BiB2若为ll和12的夹角，则 tank2kiik： ki或tanAi B2 A2 BiA A2 Bi B2当1 k|k20或
4、AA2 Bi B2 0时，90 ；直线li到丨2的角 与li和丨2的夹角距离问题1.平面上两点间的距离公式 R(x“ yj F2(x2,y2)贝U RF2 J(x2 X)(yyl)2点到直线距离公式|Axo Byo C 点P(xo,y)到直线丨：Ax By C 0的距离为：d _, 22 VA2 B23.两平行线间的距离公式已知两条平行线直线h和l2的一般式方程为l1:AxByG0,C1C2l2 : Ax ByC20,则h与l2的距离为d1|LclA2B24.直线系方程:若两条直线l1: A,x B1 yG0,2 :A?xB2y C20有交点，则过h与l2交点的直线系方程为(AxCJ + (A
5、2xB?yC2)0或(A2x B2y C2) + (Ax BCJ 0 (入为常数)对称冋题% y21.中点坐标公式：已知点 A(xyj, B(X2, y2)，则 代B中点H (x, y)的坐标公式为点P(x。，yo)关于A(a,b)的对称点为Q(2a x,2b y。)，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。2.轴 对称： 点P(a,b) 关 于直线Ax By c 0(B0)的对称点为P(m, n),则有n -bm -a1B，直线关于直线对称问题可转化0为点关于直线对称问题。(1) 中心对称：点关于点的对称:该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A(a, b)关于C(c,d)的对称
6、点(2c a,2d b)直线关于点的对称：I、在已知直线上取两点，禾U用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；n、求出一个对称点，在利用11/12由点斜式得出直线方程；川、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线l1 :2x 3y 60关于点P(1, 1)对称的直线12的方程。 点关于直线对称：I、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。n、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。女口 ：求点A( 3,5)关于直线l:3x 4y 40对称的坐标。 直线关于直线对称：(设a
7、,b关于I对称)I、若a,b相交，则a到I的角等于b到I的角；若a/l，则b/l，且a,b与I的距离相等。n、求出a上两个点 代B关于I的对称点，在由两点式求出直线的方程。川、设P(x,y)为所求直线直线上的任意一点，则P关于I的对称点P的坐标适合a的方程。如：求直线a :2x y 40关于I : 3x 4y 10对称的直线b的方程。能力提升例1点P(2,1)到直线mx y 30(m R)的最大距离为例2.已知点A(3,1)，在直线y x和y 0上各找一点 M和N，使 AMN的周长最短，并求出周长。线性规划问题：(1) 设点 P(x0, y0)和直线 I : Ax By C 0 ,若点P在直线
8、I上，则Ax。 By。 C 0 ;若点P在直线I的上方，贝U B(Ax。 By。 C) 0 ；若点P在直线I的下方，贝U B(Ax0 By0 C) 0 ；(2) 二元一次不等式表示平面区域：当B 0时，则Ax By C 0表示直线l : Ax By C 0上方的区域;AxByC0表示直线l:AxByC0下方的区域；当B0时,则 Ax ByC0表示直线l : Ax By C 0下方的区域;AxByC0表示直线l:AxByC0上方的区域；注意：通常情况下将原点（0,0）代入直线Ax By C中，根据 0或 0来表示二元一次不等式表示平面区域。（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或
9、最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解（x, y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意:当B0时，将直线乞AxBy0向上平移，贝U zAx By的值越来越大;直线AxBy0向下平移，则zAxBy的值越来越小；当B0时,将直线AxBy0向上平移，贝U z AxBy的值越来越小；直线AxBy0向下平移，则zAxBy的值越来越大；如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数z x ay取得最小值的最优解有无数个，则a为；（1）设点 P（x,y）和直线 l : Ax By C 0，若点P在直线l上，则Ax
10、0 By0 C 0 ；若点P在直线丨的上方,则 B（Ax。 By。 C） 0 ；若点P在直线l的下方，贝U B（Ax0 By0 C） 0 ；（2） 二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式 Ax By C 0（ 0）, 当B0时，则AxByC0表示直线l : AxByC0上方的区域;Ax By C 0表示直线l : Ax By C 0下方的区域; 当B0时，则AxByC0表示直线l : AxByC0下方的区域;Ax By C 0表示直线l : Ax By C 0上方的区域;注意：通常情况下将原点(0,0)代入直线Ax By C中，根据 0或 0来表示二元一次不等式表示平面区域。(3
11、)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(x, y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。0时，将直线 Ax By 0向上平移，则z Ax By的值越来越大;直线Ax By 0向下平移，贝U z Ax By的值越来越小；当B 0时，将直线 Ax By 0向上平移，贝U z Ax By的值越来越小；直线Ax By 0向下平移，贝U z Ax By的值越来越大；如：在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界)z x ay取得最小值的最优解有无数个，则a为圆与方程2 2 2
12、2.1圆的标准方程：(x a) (y b) r圆心C(a,b)，半径r2 2 2特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2 y2 r2 .2.2点与圆的位置关系：1.设点到圆心的距离为 d,圆半径为r:(1)点在圆上一d=r; (2)点在圆外d r; (3)点在圆内 二一dv r.2给定点 M(X0,y)及圆 C ：(x a)2 (y b) 2 r2 . M 在圆 C 内(x0 a)2 (y0 b)2 r2 M 在圆 C 上 (x a)(y b) r M 在圆 C 外(x0 a)2 (y0 b)2 r22 22.3圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0当 D2 E2 4F0时，方程
13、表示一个圆，其中圆心C D, E，半径 r D2 E2 4F2 2 2当 D2 E2 4F0时，方程表示一个点当 D2 E2 4F0时，方程无图形（称虚圆）注：（1）方程2 2Ax Bxy Cy Dx Ey F0表示圆的充要条件是：B 0且A C 0且D2 E2 4AF 0 .疋：圆的直径系方程：已知 AB是圆的直径A(Xi,yJB(X2,y2)(x xj(x x?) (yyi)(y y2) 02.4直线与圆的位置关系：直线AxBy C 0与圆（x a）2 （y b）2 r2的位置关系有三种，d是圆心到直线的距离，（dAa Bb CA2 B2(i) d r 相离0; (2)dr 相切(3) d r 相交2.5两圆的位置关系设两圆圆心分别为Oi,O2,半径分别为ri, r2,OiO2(1) dr1r2外离4条公切线；（2）d r1r2外切3条公切线；(3) rir2drir2相交2条公切线；(4)d | ri
