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1、级数的概念及其性质我们在中学里已经遇到过级数等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。下 面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。无穷级数的概念设已给数列a ,a ,，a，把数列中各项依次用加号连接起来的式子a +a +& +称为无穷1 2 n 1 2 nUliH级数，简称级数记作：或 ，即：=a+&+&+,数列的各项a,a,称为级1 2 n 1 2数的项，a称为级数的通项.n取级数最前的一项，两项，n项，相加，得一数列S =a，S =a +a ,，S =a +a +“+a ,11212n 12 n这个数列的通项S =a +a +&称为级数的前n项的部分和，该数列称为级数的部分和
2、数 n 12 n列。如果级数的部分和数列收敛：，那末就称该级数收敛，极限值S称为级数的和。1 1 1 1 1 -:二r + + + + : + 、十 rrr 泌 衫吃 1：呛亠1 U=4+1)“V 口例题：证明级数：的和是1.1 1 1 1 + -1-1 -22-33,4+证明：当n8时，Sn1.所以级数的和是1.级数的性质匸旳亞=01级数收敛的必要条件：收敛的级数的通项an当n-s时趋于零，即： f注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。L 111111 n = 1 十一十一-I- -I- + l2 = U例如：级数虽然在n-s时，通项”，级数却是发散的。此级数为调和级数，在此我
3、们不加以证明。2.如果级数龙珀收敛而它的和是S，那末每一项乘上常数c后所得到的级数龙匚兔，也是收敛的，而且它的和是cS.如果E勺发散，那末当c#0时2 叫也发散。3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。 4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的 次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。正项级数的收敛问题对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问 题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。下面
4、我们来学习如何确定 级数的收敛和发散问题。我们先来考虑正项级数(即每一项an0的级数)的收敛问题。 判定正项级数敛散性的基本定理K-K-定理：正项级数收敛的充分与必要条件是部分和Sn上有界如果Sn上无界，级数发散于正无穷大。M 二 1 十+ + + 例如：p级数：，当P1时收敛，当p1时发散。注意：在此我们不作证明。正项级数的审敛准则准则一：设有两个正项级数乞勺及龙瓦，而且an1时，有n 1是收敛的，因为它满足莱布尼兹准则的两个条件:lim = 0函数项级数、幂级数在自然科学与工程技术中运用级数这一工具时，经常用到不是常数项的级数，而是函数项的级数. 而常数项级数是研究函数项级数的基础。函数项
5、级数的概念设有函数序列,w心 WJ3，其中每一个函数都在同一个区间I上有定义，SA二“十琢f) +“e)十+人+ 那末表达式称为定义在I上的函数项级数。下面我们来学习常见而应用广泛的一种具有如下形式的函数项级数：c q + Cj J+ Cj x -I- + cs j H + =Hx-0它们的各项都是正整数幕的幕函数这种级数称为幂级数，其中cn(n=0丄2,.)均为常数.显然，当上面级数中的变量x取定了某一个值X。时，它就变为一个常数项级数。 幕级数的收敛问题与常数项级数一样，我们把入沁斗甲乜宀坨芒称为幕级数的部分和。如果这部 分和当n-s时对区间I中的每一点都收敛，那末称级数在区间I收敛。此时
6、sn(x)的极限是定义 呦=茲严 在区间I中的函数，记作:s(x).这个函数s(x)称为级数的和函数，简称和，记作：7对于幕级数，我们关心的问题仍是它的收敛与发散的判定问题，下面我们来学习关于幕级数的 收敛的判定准则。幕级数的审敛准则=H，那末，当r.匸亡lfc芒2准则：设有幕级数如果极限时，幕级数收敛，而且绝对收敛；当时，幕级数发散，其中R可以是零，也可以是+8.由上面的准则我们可知：幕级数的收敛区间是关于原点对称的区间忖V 在这个区间内级数收 敛，在这个区 间外级数发散区间忖称为幕级数的收敛区间，简称敛区。正数R为幕级数的收敛半径.关于此审敛准则问题讨论幕级数收敛的问题主要在于收敛半径的寻
7、求。当时，级数的敛散性不能由准则来判定，需另行讨论。1 4-+例题：求幕级数2 5的收敛区间.解答：该级数的收敛半径为：在x=5与x=-5，级数分别为 故级数的收敛区间是-5,5)幕级数的性质性质1:设有两个幕级数，如果所以此幕级数的敛区是(-5, 5).1+丄+丄+与1_丄+ 1 1前者发散，后者收敛.=f(x), -RxR=f2(x)，-R2xR2则=f(x)f2(x),-RxR 其中 R=min(R,R2)工5产，性质2：幕级数的和s(x)在敛区内时连续的.性质3：幕级数的和s(x)在敛区内的任一点均可导，且有逐项求导公式:求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。工5产性质4：幕级数的和
8、s(x)在敛区内可以积分，并且有逐项积分公式:积分后所得的幕级数与原级数有相同的收敛半径。由以上这些性质可知：幕级数在其敛区内就像普通的多项式一样,可以相加,相减,可以逐项求导, 逐项积分。函数的幕级数展开式通过前面的学习我们看到，幕级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还 发现有一些可以表示成幕级数。为此我们有了下面两个问题：问 题 1 ： 函 数 f(x) 在 什 么 条 件 下 可 以 表 示 成 幕 级 数问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幕级数，那末系数cn(n=0,l,2,3,.)怎样确定? 下面我们就来学习这两个问题。泰勒级数我们先来讨论第二个问题假定f(x
9、)在a的邻区内能表示成恋 =%十*_边十巾(一十十耳(一$尸十这种形式的幕级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数cn与f(x)应有怎样的关系。由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幕级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导. 对其幕级数两端逐次求导。得：=巾 十 2先(一7)4-3c3(X-?)2 十fx)=ncK 十如十G + 在 f(x)幕级数式及其各阶导数中，令 x=a 分别得把这些所求的系数代入 心得：该式的右端的幕级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数.关于泰勒级数的问题上式是在f(x)可以展成形如冷一-肝八的幕级数的假 定下得出的实际上，只要f(x)在x=a处任意阶
10、可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于 f(x)？函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差kn rK(x) = 0 J是否随ni + s而趋向于零如果在某一区间I中有那末f(x)在 x=a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展 开式.泰勒定理设函数f(x)在 x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一 x,至少存在一点c,c在a 与 x 之间，使得：fJ (巧魚_巧(工_町2 + 了其中g)=齐十孕此公式也被称为泰勒公式。 (在此不加以证明)在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成：心皿“仲亠晋宀讐八上鱼严其中c在0与x之间此式子被称为麦克劳林公式。函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相 应的泰勒展开式为麦克劳林展开式.斗卩)工斗广型异斗斗匸岂2 / +.几种初等函数的麦克劳林的展开式1.指数函数ex它 =1 斗；亠+ -I+ J-1；=-.2!刈2正弦函数的展开式3.函数(l+x)m的展开式1+吋祇;7 宀/少了一十1”讣卜1
