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1、江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编圆锥曲线一、填空题1、（常州市2013届高三期末）已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率的值为 答案：2、（连云港市2013届高三期末）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2 = 4x的准线交于A、B两点，AB =，则C的实轴长为 .答案：13、（南京市、盐城市2013届高三期末）已知、分别是椭圆的左、右焦点, 点是椭圆上的任意一点, 则的取值范围是 答案：4、（南通市2013届高三期末）已知双曲线的一个焦点与圆x2+y210x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为 答案：5、（徐州、淮安、宿
2、迁市2013届高三期末）已知双曲线的右焦点为若以为圆心的圆与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 .答案：6、（苏州市2013届高三期末）在平面直角坐标系中，双曲线的左顶点为，过双曲线的右焦点作与实轴垂直的直线交双曲线于，两点，若为直角三角形，则双曲线的离心率为 答案：27、（泰州市2013届高三期末）设双曲线的左、右焦点分别为,点P为双曲线上位于第一象限内一点，且的面积为6，则点P的坐标为 答案：8、（无锡市2013届高三期末）如图，过抛物线y2=2px（p0）的焦点F的直线L交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为 。答案：9、（
3、扬州市2013届高三期末）已知圆的圆心为抛物线的焦点,又直线与圆相切，则圆的标准方程为 答案：10、（镇江市2013届高三期末）圆心在抛物线上,并且和抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为 二、解答题1、（常州市2013届高三期末）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知分别是椭圆E:的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且. （1）求椭圆E的离心率；（2）已知点为线段的中点，M 为椭圆上的动点（异于点、），连接并延长交椭圆于点，连接、并分别延长交椭圆于点、，连接，设直线、的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解：（1），.，化简得，故椭
4、圆E的离心率为.（2）存在满足条件的常数，.点为线段的中点，从而，左焦点，椭圆E的方程为.设，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，.，.从而，故点.同理，点.三点、共线，从而.从而.故，从而存在满足条件的常数，.2、（连云港市2013届高三期末）已知椭圆C：(ab0)的上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2,且椭圆C过点P(，)，以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.(1)求椭圆C的方程；(2)若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.xyOF2(第18题图)PAF11解：(1)因为椭圆过点P(，
5、),所以=1,解得a2=2, 2分又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.所以AF2F2P,即-=-1, b2=c(4-3c).6分而b2=a2-c2=2-c2,所以c2-2c+1=0,解得c2=1,故椭圆C的方程是+y2=1. 8分 (2)当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，代入椭圆方程得 (1+2k2)x2+4kpx+2p22=0. 因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以=16k2p24(1+2k2)(2p22)=8(1+2k2p2)=0，即 1+2k2=p2. 10分设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则 =1,即(st+1)k+p(s+t)=
6、0(*)，或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (*).由(*)恒成立,得解得,或, 14分而(*)不恒成立.当直线l斜率不存在时，直线方程为x=时，定点(1，0)、F2(1，0)到直线l的距离之积d1 d2=(1)(+1)=1. 综上,存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1. 16分3、（南京市、盐城市2013届高三期末）如图, 在平面直角坐标系中, 已知椭圆经过点,椭圆的离心率, 、分别是椭圆的左、右焦点.(1)求椭圆的方程；(2)过点作两直线与椭圆分别交于相异两点、. 若直线过坐标原点, 试求外接圆的方程； 若的平分线与轴平行, 试探究直线的斜率是否
7、为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由.解: (1)由，得，故椭圆方程为3分又椭圆过点，则，解得，所以椭圆的方程为5分(2)记的外接圆的圆心为.因为,所以的中垂线方程为,又由, ,得的中点为，而，所以的中垂线方程为，由，得 8分所以圆T的半径为，故的外接圆的方程为10分(说明:该圆的一般式方程为)(3)设直线的斜率为，由题直线与的斜率互为相反数，直线的斜率为.联立直线与椭圆方程： ，整理得，得，所以，整理得， 13分又=，所以为定值16分4、（南通市2013届高三期末）已知左焦点为F(1，0)的椭圆过点E(1，)过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分
8、别为线段AB，CD的中点（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标解：依题设c=1，且右焦点(1，0)所以，2a=，b2=a2c2=2，故所求的椭圆的标准方程为 4分(2)设A(，)，B(，)，则，得 所以，k1= 9分(3)依题设，k1k2设M(,)，直线AB的方程为y1=k1(x1)，即y=k1x+(1k1)，亦即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得 于是， 11分同理，当k1k20时，直线MN的斜率k=13分直线MN的方程为，即 ，亦即 此时直线过定点 15分当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点综上
9、，直线MN恒过定点，且坐标为 16分5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.（1） 求椭圆的方程；（2） 若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点（）设直线的斜率为直线的斜率为，求证：为定值；（）设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.答案：由题意得 ，所以，又，2分消去可得，解得或（舍去），则，所以椭圆的方程为4分（）设，则，因为三点共线，所以， 所以，8分因为在椭圆上，所以，故为定值10分（）直线的斜率为，直线的斜率为,则直线的方程为，12分=，所以直线过定点 16分6
10、、（苏州市2013届高三期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点是椭圆的左焦点，分别为椭圆的右、下、上顶点，满足，椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程；（2）若为线段（包括端点）上任意一点，当取得最小值时，求点的坐标；OMNACB（3）设点为线段（包括端点）上的一个动点，射线交椭圆于点，若，求实数的取值范围答案：7、（泰州市2013届高三期末）直角坐标XOY中，已知椭圆C：的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点是椭圆C上一点，直线PO分别交于M，N。（1）求椭圆离心率；（2）若MN，求椭圆C的方程；（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，是椭圆C的左，右焦点，R
11、Q平分且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围。解：(1)P(,)，1分KOP=-1，4b2=3a2=4(a2-c2), a2=4c2, e= 4分(2)MN=， 由得，a2=4,b2=3, .8分（3）cos=cos，= .10分 化简得： t=-y0.14分0y0,t(-,0) .16分8、（扬州市2013届高三期末）如图，已知椭圆方程为，圆方程为，过椭圆的左顶点A作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于B、C （）若时，恰好为线段AC的中点，试求椭圆的离心率；（）若椭圆的离心率=，为椭圆的右焦点，当时，求的值；（）设D为圆上不同于A的一点，直线AD的斜率为，当时，试问直线BD是否过定点？若过定点
12、，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由解：（）当时，点C在轴上，且，则，由点B在椭圆上，得， 2分， 4分（）设椭圆的左焦点为，由椭圆定义知，则点B在线段的中垂线上，6分又，代入椭圆方程得=，=9分（）法一：由得，或，则11分由得，得，或，同理，得，13分当时， BDAD，为圆， ADB所对圆的弦为直径，从而直线BD过定点（a,0）. 16分法二：直线过定点， 10分证明如下：设，则：，所以，又所以三点共线，即直线过定点。. 16分9、（镇江市2013届高三期末）已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. 不过A点的动直线交椭圆于P,Q两点（1） 求椭圆的标准方程；（2）证明P,Q两点的横坐标的平方和为定值；（3）过点 A,P,Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标.19. 解：（1）设椭圆的标准方程为.由题意得.2分, , 2分 椭圆的标准方程为.4分（2）证明：设点将带入椭圆，化简得：,6分 , P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.
