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1、特征值与特征向量考研复习一、特征值和特征向量1、有关定义：(1定义1:设A为n阶矩阵，是一个数，如果存在非零的n维向量：，使得：A :，则称，是矩阵A的一个特征值，非零向量:为矩阵A的属于 或对应于)特征值的特征向量。(2定义2:称矩阵?,! -A称为A的特征矩阵，它的行列式| . - A |称为A的特 征多项式，|扎 - A |= 0称为A的特征方程，其根为矩阵 A的特征值。2、 特征值、特征向量的求法：设A是n阶矩阵，则是A的特征值，是A的属于九。的特征向量的充分必要条件是 人是|血 - A|二0的根，a是齐次线性方程组(0 -A)X =0的非零解。3、特征值、特征向量的基本性质(1如果是
2、A的属于特征值o的特征向量，则:一定是非零向量，且对于任意非零常数k，k也是A的属于特征值 0的特征向量。(2如果是A的属于特征值0的特征向量，则当kr ! - k22 = 0时，kr i k 2也是A的属于特征值0的特征向量。(3 n阶矩阵A与它的转置矩阵At有相同的特征值。(4一2n 二tr(A)二亦 a?2 川 a.n(5 入嘉，-n = A(6设是A的特征值，且:-是A属于的特征向量，则(a ck是cAk的特征值，cAkc，k ;(b若A可逆，则 =0,且1是A，的特征值，A ： = 1 :- o上述结果在某种意义上可以说：f(A)的特征值是f()，其中是A的特征值。（7设1, 2 ,
3、 m为门阶矩阵A的不同特征值。1,2,Cm分别是属于1,2,，m的特征向量，贝则1,2,，m线性无关。4、典型例题例1 （四/93设2是可逆矩阵A的一个特征值，则B、C、1a232有一特征值为（：14。（1解: S2133:-=3（A）2，选 B4练习：1、（一/98设是n阶矩阵A的一个特征值，则（A*）2E必有特征值。解：因为A = AA，所以A*的特征值为A ，从而A2人丄+1是（A*）2+E的一个特征值。2、（三/08设三阶矩阵A的特征值分别为1,2,2，则4A-1-E解：4A-E的三个特征值为3,1,1，所以4A-E=33、（四/96设有四阶方阵A满足：卜2E A=0，AAt =2E，
4、 A 0。求 A* 的一个特征值。解：由V2e+a=o知：-是A的一个特征值由 AAT -2E， A 人E A =所以，=1 -b,( n -1个)/ =1 (n -1)b1若b=0，则n个特征值均为1,此时，E-A = 0,所以1 =(1,0,|I|,0)T,川n =(0,I,0,1)T是n个线性无关的特征向量2若b =0，则当=1 -b时,r-b-bX E A =亠+日IIIIII+III-b00所以：1 =（-1,0, |（,1）T川I，: nj =（0J|,-1,1）T是n-1个线性无关的特征向量当=1( n - 1)b 时,(n -1)b-b|(-b心A=亠(n川：b1 -n1III
5、1 -n0III n、:11-n川10_nIII nT+r4bbrhT+ri 11III1 n丿11III 1 nIII (n 1)b 丿0T *+10 川-1、 1川-1hb4r1川1nr0川0-T01川0-1IIIIIIIIIIIIIII00川1-1 当 b=0时，P=0+1卜 hIII014，且 PAP 二diag(1,1川，1)00IIIh-10III0r0-1III01当b0时，P =qiqfifrkriii，且00III-11设二,，an）T= （b，bn）T都是非零n维向量，且满足条件T0。记A 。求：（1A2 ； （2A的特征值和特征向量。解：(1 A2 = :-0(2设是A的
6、任意一个特征值，:是对应的特征向量，则 A =、:所以A2g =丸2a二=0 ,又g式0 ,所以扎=0 ,即A的n个特征值均为0因为都是非零向量，所以不妨设 印=04 = 0当一 0时aQ 睑川 ab ”口 Ta20 azd 川 a20入 E A = 一卩=-III HI II1III加anb2II1anbn 丿Nd a4 川 ag b2 川 600 ill 000川0TTIII 川 III HIIIIIII HI III30川0丿30川0所以基础解系c(1 = (bb2 /I)T川佯 n_=11_bn,bT。0从而 =0对应的所有特征向量为:zr = b是A*的一个特征向量,- Cn4：n4
7、，其中GI ( , Cn不全为零。 2 1 1 V例10 (四/03设A= 12 1可逆,J 1 a对应的特征值，求a,bj的值解：由是A*的属于的一个特征向量，且A可逆知： = 0，且A*：-即A A，。=九a，从而A a = kA%(3+b 归 A|=4(a1)代入得：- 12 2b | A | b 得：a=2,b=1,- = 1 或 a=2,b = -2,t 利 a+b+1)=|A|a -1cV练习：(一、三/99设矩阵A=5 b 3 ，且A=-1。又设A的伴随i1 c 0 a ;矩阵A*有特征值，属于-0的特征向量为：=(-1,-1,1)丁，求a,b,c, -0的值。I ao( -a +1 + c) =1解：由 A-得： 0b 31，解得：0 =1,b=-3,a=cf 0I杵.o (-1 c - a)二-1又 A=-1=a-3，所以 a = c = 2。V例11 (一/92设三阶矩阵A的特征值为1,2,3,对应的特征向量分别为：vpPa1 =1a 2 2,。3 =3，又P =1166(1将1用1,2, 3线性表示；(2求A (n为自然数 解：(1 解 X x2 二2 * x3-S 二:111、1111、1111 则A =1231T0120T0120
