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1、全国2007年初中数学联合竞赛试题（含解析）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 已知满足，则的值为 （ ）（A）1. （B）. （C）. （D）.2当分别取值，时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ）（A）1. （B）1. （C）0. （D）2007.3. 设是的三边长，二次函数在时取最小值，则是 （ ）（A）等腰三角形. （B）锐角三角形. （C）钝角三角形. （D）直角三角形.4. 已知锐角的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则的度数是（ ）（A）30. （B）45. （C）60. （D）75.5设是内任意一点，、的重心分别为、，则的值为 （ ）（A）. （B）
2、. （C）. （D）.6袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）（A）. （B）. （C）. （D）.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7. 设，是的小数部分，是的小数部分，则_.8. 对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作（），则= 。9. 已知直角梯形的四条边长分别为，过、两点作圆,与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为_.10 若和均为四位数，且均为完全平方数，则整数的值是_.第二试 （A）一、 （本题满分20分）设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值.二、
3、（本题满分25分）如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点.证明：=.三、 （本题满分25分）已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根.第二试 （B）一、（本题满分20分）设为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值.二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设是正整数，二次函数，反比例函数，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值.第二试 （C）一、（本题满分25分）
4、题目和解答与（B）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设是正整数，如果二次函数和反比例函数的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值和对应的公共整点.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 已知满足，则的值为 （ ）（A）1. （B）. （C）. （D）.2当分别取值，时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ）（A）1. （B）1. （C）0. （D）2007.3. 设是的三边长，二次函数在时取最小值，则是 （ ）（A）等腰三角形. （B）锐角三角形. （C）钝角三角形. （D）直角三角形.4. 已知锐角
5、的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则的度数是（ ）（A）30. （B）45. （C）60. （D）75.5设是内任意一点，、的重心分别为、，则的值为 （ ）（A）. （B）. （C）. （D）.6袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）（A）. （B）. （C）. （D）.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7. 设，是的小数部分，是的小数部分，则_.8. 对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作（），则= 。9. 已知直角梯形的四条边长分别为，过、两点作圆,与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为_.第二
6、试 （A）一、 （本题满分20分）设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值.二、（本题满分25分）如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点.证明：=.三、 （本题满分25分）已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根.【解析】观察易知，方程有一个整数根，将方程的左边分解因式，得 第二试 （B）一、（本题满分20分）设为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值.二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设是正整数，二次函数，反比例函数，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值.第二试 （C）一、（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设是正整数，如果二次函数和反比例函数的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值和对应的公共整点.
