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1、xrIoRB图17.816.8 如图所示的两个同轴圆形导体线圈，小线圈在大线圈上面两线圈的距离为x，设x远大于圆半径R大线圈中通有电流I时，若半径为r的小线圈中的磁场可看作是均匀的，且以速率v = dx/dt运动求x = NR时，小线圈中的感应电动势为多少？感应电流的方向如何？解答环电流在轴线上产生的磁感应强度为，当xR时，磁感应强度为 小线圈的面积为S = r2，通过的磁通量为，当小线圈运动时，感应电动势为，当x = NR时，感应电动势为 感应电流的磁场与原磁场的方向相同，感应电流的方向与原电流的环绕方向相同BALDBnv图16.916.9 如图所示，匀强磁场B与矩形导线回路的法线n成 =
2、60角，B = kt（k为大于零的常数）长为L的导体杆AB以匀速v向右平动，求回路中t时刻的感应电动势的大小和方向（设t = 0时，x = 0）解答经过时间t，导体杆运动的距离为x = vt，扫过的面积为 S = Lx = Lvt，通过此面积的磁通量为 = BS = BScos = Lvkt2/2感应电动势的大小为 = d/dt = Lvkt由于回路中磁通量在增加，而感应电流的磁通量阻碍原磁通量增加，其磁场与原磁场的方向相反，所以感应电动势的方向是顺时针的16.10长为b，宽为a的矩形线圈ABCD与无限长直截流导线共面，且线圈的长边平行于长直导线，线圈以速度v向右平动，t时刻基AD边距离长直导
3、线为x；且长直导线中的电流按I = I0cost规律随时间变化，如图所示求回路中的电动势BABvDCxrxdrxbxa图16.10解答电流I在r处产生的磁感应强度为，穿过面积元dS = bdr的磁通量为，穿过矩形线圈ABCD的磁通量为，回路中的电动势为 显然，第一项是由于磁场变化产生的感生电动势，第二项是由于线圈运动产生的动生电动势16.11如图，一个矩形的金属线框，边长分别为a和b（b足够长）金属线框的质量为m，自感系数为L，忽略电阻线框的长边与x轴平行，它以速度v0沿x轴的方向从磁场外进入磁感应强度为B0的均匀磁场中，B0的方向垂直矩形线框平面求矩形线框在磁场中速度与时间的关系式v = v
4、(t)和沿x轴方向移动的距离与时间的关系式x = x(t)B0v0bxaxoxy图16.11解答由于b边很长，所以线框只有右边在做切割磁力线的运动当线框速度为v时，产生的动生电动势为 = B0av当线框中的电流为i时，产生的自感电动势的大小为 根据欧姆定律得 + L = iR，由于不计电阻，所以有 右边所受的力为 F = iaB0，根据牛顿第二定律得，微分得 ， 联立和式得微分方程，这是简谐振动的微分方程，其通解为当t = 0时，v = v0，所以A = v0加速度at = dv/dt，当t = 0时，at = 0，所以B = 0速度方程为由于v = dx/dt，所以 当t = 0时，x =
5、0，所以C = 0，所以位移方程为BabRcrr图16.1216.12 如图所示的圆面积内，匀强磁场B的方向垂直于圆面积向里，圆半径R = 12cm，dB/dt = 10-2Ts-1求图中a、b、c三点的涡旋电场为多少（b为圆心）？设ab = 10cm，bc = 15cm解答（1）当点在磁场之中时，以b为圆心，以r为半径作一圆形环中，其周长为 C = 2r，面积为 S = r2取环路的逆时针方向为正，根据右手螺旋法则，面积的法向方向垂直纸面向外。根据安培环路定理，由于磁场增加，其变化率的方向与磁场方向相同，而感应电流的磁场与磁场增加的方向的方向相反，即垂直纸面向里，根据右手螺旋法则，涡旋电场的
6、方向与环路方向相同，所以左边等于而磁感应强度的方向与面积的法向方向相反，所以右边等于因此涡旋电场为 对于a点，由于r = 0.1m，所以Ek = 0.10.01/2 = 510-4(Vm-1)对于b点，由于r = 0，所以Ek = 0（2）当点在磁场之外时，以b为圆心，以r为半径作一圆形环路根据安培环路定理 ，左边的积分仍然为Ek2r由于半径R之外的磁感应强度及其变化率为零，所以右边的大小为R2dB/dt，因此涡旋电场为 对于c点，由于r = 0.15m，R = 0.12m，所以Ek = (0.12)20.01/20.15 = 4.810-4(Vm-1）Ir1olr2I图16.1316.13
7、两个共轴的导体圆筒称为电缆，其内、外半径分别为r1和r2，设电流由内筒流入，外筒流出，求长为l的一段电缆的自感系数（提示：按定义L = N/I，本题中N是图中阴影部分面积的磁通量）解答在内外半径之间，磁感应强度的大小为 B = 0I/2r，其中r是场点到轴线之间的距离，B的方向是以轴线为中心的同心圆在r处取一长为l的面积元dS = ldr，通过面积元的磁通量为 d = BdS，总磁通量为，电缆的自感系数为讨论电缆单位长度的自感系数为LrI1oRB图16.1416.14 两个共轴圆线圈，半径分别为R和r，匝数分别为N1和N2，两者相距L设小线圈的半径很小，小线圈处的磁场近似地可视为均匀，求两线圈
8、的互感系数解答设大线圈中通以电流I1，N1匝线圈形成的环电流在轴线上产生的磁感应强度为，小线圈的面积为 S = r2，大线圈通过一匝小线圈的磁通量为 ，在小线圈中产生的全磁通为 ，互感系数为 讨论当两线圈相距很远时，LR，互感系数约为16.15两个共轴的长直螺线管长为L，半径分别为R1和R2，设R2 R1；匝数分别为N1和N2求两螺线管的互感系数解答设大螺线管中通以电流I2，在轴线上产生的磁感应强度为B = 0n2I2 = 0N2I2/L小螺线管的面积为 S = R12，大螺线圈通过一匝小螺线管的磁通量为 = BS = 0N2I2R12/L，在小线圈中产生的全磁通为12 = N1 = 0N1N
9、2I2R12/L，互感系数为M = 12/I2 = 0N1N2R12/L16.16 一圆形线圈C1由50匝表面绝缘的细导线密绕而成，圆面积S = 2cm2，将C1放在一个半径R = 20cm的大圆线圈C2的中心，两线圈共轴，C2线圈为100匝求：（1）两线圈的互感M；I2C2C1图16.16（2）C2线圈中的电流以50As-1的速率减少时，C1中的感应电动势为多少？解答(1)设大线圈中通以电流I2，N2匝线圈形成的环电流在圆心产生的磁感应强度为B = 0N2I2/2R，小线圈中的全磁通为 12 = N1BS =0N1N2I2S/2R，互感系数为M = 12/I2 = 0N1N2S/2R= 41
10、0-750100210-4/20.2=10-6(H)(2) C1中的感应电动势的大小为 = MdI2/dt = 10-650 = 510-5(V)Ibca图16.1716.17 长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行，矩形线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为c（如图），当矩形线圈中通有电流I = I0sint时，求直导线中的感应电动势解答如果在直导线中通以稳恒电流I，在距离为r处产生的磁感应强度为B = 0I/2r在矩形线圈中取一面积元dS = bdr，通过线圈的磁通量为，互感系数为 当线圈中通以交变电流I = I0sint时，直导线中的感应电动势大小为16.18 在长圆柱
11、形的纸筒上绕有两个线圈1和2，每个线圈的自感都是0.01H，如图所示求：（1）线圈1的a端和线圈2的a端相接时，b和b之间的自感L为多少？abba图16.18（2）线圈1的b端和线圈2的a端相接时，a和b之间的自感L为多少？解答（1）当线圈1的a端和线圈2的a端相接时，在b和b之间通以电流I，两个线圈产生的磁场方向相反，由于两个线圈是相同的，总磁场B = 0，所以磁场能量为零，自感L也为零（2）当线圈1的b端和线圈2的a端相接时，在a和b之间通以电流I，两个线圈产生的磁场方向相同，由于两个线圈是相同的，总磁场为B = B1 + B2 = 2B1，磁场的能量为自感系数为 =0.04(H)16.1
12、9两个线圈的自感分别为L1和L2，它们之间的互感为M将两个线圈顺串联，如图a所示，求1和4之间的互感；（2）将两线圈反串联，如图b所示，求1和3之间的自感12341234ab图16.19解答两个线圈串联时，通以电流I之后，总磁场等于两个线圈分别产生的磁场的矢量和B = B1 + B2，磁场的能量为（1）当两个线圈顺串时，两磁场的方向相同， = 0，所以，自感系数为 （2）当两个线圈反串时，两磁场的方向相反， = ，所以，自感系数为 16.20 两个共轴的螺线管A和B完全耦合，A管的自感系数L1 = 4.010-3H，通有电流I1 = 2A，B管的自感L2 = 910-3H，通有电流I2 = 4A求两线圈内储存的总磁能解答A管储存的自能为，B管储存的自能为 ；由于两线圈完全耦合，互感系数为，A管和B管储存的相互作用能为Wm12 = MI1I2 = 610-324 = 4810-3(J)，两线圈储存的总能量为Wm = Wm1 + Wm2 + Wm12 = 0.128(J)
