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1、压轴题提分练（二）2 2x y1 设椭圆a2+ b= 1(a b 0)的左焦点为F，离心率为过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.（i）求椭圆的方程；设A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点 F且斜率为k的直线与椭圆交于C,2bD两点若AC DB + AD CB = 8, O为坐标原点，求 OCD的面积.解析：（1）因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为4“33 .因为椭圆的离心率为中，所以a=h， 又 a2= b2 + c2，可解得 b= 2， c= 1， a=32 2所以椭圆的方程为气+2=1.由可知F（- 1,0），则直线CD的方程为y= k（x+ 1）.+ kx+
2、1，联立x2 y2+3 + 21,2 2 2 2消去 y 得(2 + 3k )x + 6k x+ 3k 6= 0.设 C(X1, y1), D(x2, y2),6k23k2 6所以 X1 + x2=2, X1X2=2.2+ 3k2+ 3k又 A( 3, 0), B( 3, 0),所以 AC DB + AD CB=(X1+ 3, y1)(-3 x?, y2)+ (x2 + 3, y2)(.3 X1, y”2222 2k +12=6 (2 + 2k )x1x2 2k (X1 + x2) 2k = 6+2 = 8,2 + 3k2解得k= 土, 2.6X233X 2-6从而 Xl + X2=厅，X1X
3、2= 0.2+ 3X 222+ 3X 2所以 |xi X2、= p (X1 + X2 f - 4X1X2 =寸(一3 4X 0 = 2, |CD|= U + k2|xi -X2|= 1 + 2X3= 323.而原点O到直线CD的距离为d=；1 + k2- 1 + 2所以OCD 的面积为 S= |CD|X d= X 2.已知函数f(X)= eX-ax1(a为常数),曲线y=f(x)在与y轴的交点A处的切线 斜率为1.(1)求a的值及函数y= f(x)的单调区间；若 X1ln 2,且 f(x1)= f(x2)，试证明：X1 + X20 得 xln 2.所以函数y= f(x)在(一x, ln 2)上
4、单调递减，在(ln 2,+ x)上单调递增.(2)证明：设 xln 2,所以 2ln 2 xln 2),D则 g (x)= eT+ 4e-x 42 ;ex 4e x 4 = 0,当且仅当 x= ln 2 时，等号成立, 所以 g(x)= f(x) f(2In 2 x)在(In 2,+*)上单调递增.又g(ln 2)= 0,所以当xln 2时，g(x) = f(x) f(2I n 2 x)g(ln 2) = 0,即 f(x)f(2ln 2 x)，所以 f(X2)f(2In 2 X2),又因为 f(xi) = f(X2)，所以 f(xi)f(2ln 2 X2).由于 x2ln 2,所以 2ln 2 x2ln 2.x12ln 2 x2，因为xi ln 2，由知函数y= f(x )在(一, ln 2)上单调递减，所以即 x1+ x22ln 2.
