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1、 第2章 赋范线性空间虽然不允许我们看透自然界本质的秘密, 从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设 足以解释许多现象. (欧拉)(1707-1783,瑞士数学家) 在1908 年讨论由复数列组成的空间 时引入记号来表示,后来就称为的范数.赋范空间的公理出现在在 1918 年关于上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 （18921945）、（18791934）、（18841943）和 （18941964）给出的,其中以的工作最具影响. 2.1赋范空间的基本概念线性空间是在1888年出版的书Geometrical Calculus中引进的.在
2、1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为 空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数,第三组给出了空间的完备性.定义2.1.1 设是实数域或复数域,是数域上的线性空间,若是到 的映射,且满足下列条件： (1) 且 当且仅当; (2) ,对任意和任意 ;(3) ,对任意 . 则称为上的范数,而称为的范数,这时称为赋范线性空间. 明显地,若为赋范线性空间,则对任意,定义时,为度量空间,但对一般的度量空间,当为线性空间时,若定义,则不一定就是上的范数.例2.1.1 设数列全体,则明显地,为线性空间,对任意的, 定义 则 但取,则而因此 所以,
3、不是上的范数.问题2.1.1 对于线性空间上的度量, 它满足什么条件时,才能成为范数？ 定理2.1.2 设是线性空间,是上的度量,在上规定,则成为赋范线性空间的条件是：(1) ,对任意 ；(2) ,对任意和任意. 下面举出赋范线性空间的一些例子. 例2.1.3 对于,是的范数, 即是赋范线性空间. 例2.1.4 对于,在范数下是赋范线性空间. 例2.1.5 在范数下是赋范线性空间. 例2.1.6 在范数下是赋范线性空间. 例2.1.7 ,在范数下是赋范线性空间. 由于赋范线性空间在度量下是度量空间,因此,在度量所引入的序列收敛,开(闭)集、稠密和紧集等概念都可以在赋范线性空间中使用.定义2.1
4、.2 设是赋范空间, 若依度量收敛于, 即,则称依范数收敛于,记为在赋范线性空间中,仍然用记以为球心,为半径的开球,用记以为球心,为半径的闭球. 为了方便,用记以0为球心,1为半径的闭单位球面. 用记以0为球心,1为半径的闭单位球. 用记以0为球心,1为半径的开单位球.例2.1.8 在空间中,对于可以定义几种不同的范数:则对, 闭球在不同范数下的形状为： 思考题2.1.1 设是赋范线性空间,问开球的闭包是否一定是闭?思考题2.1.2 设是线性空间,问闭球内部是否一定是开球?在赋范线性空间中,加法与范数都是连续的. 定理2.1.8 若是赋范空间,则. 证明 由可知定理成立. 定理 2.1.9 若
5、是赋范空间,则. 证明 由和,可知,因此. 定义2.1.3 设是赋范线性空间,若时,必有,使, 则称为完备的赋范线性空间. 根据M.的建议,完备的赋范线性空间称为空间. 不难证明,都是空间. 在数学分析中,曾讨论过数项级数,函数项级数,类似地,在赋范线性空间中,也可定义无穷级数.定义2.1.4 设是赋范线性空间,若序列收敛于某个时,则称级数收敛,记为.定义2.1.5 设是赋范线性空间,若数列收敛时, 则称级数绝对收敛.在数学分析中绝对收敛的级数一定是收敛的,但在赋范空间上却不一定成立,先来看看下面一个定理.定理2.1.10 设是赋范线性空间,则是空间的充要条件为的每一绝对收敛级数都收敛. 证明
6、 设是空间,且绝对收敛,则由可知,对于,有,因此是的列,由的完备性可知,存在使,即 反之,设的每一个绝对收敛级数都收敛,则对于的列,对,有 , 使得因而. 由假设可知收敛于某个,即收敛,所以必收敛于,从而完备. 事实上,在实数空间中,正是由于的完备性才保证了绝对收敛级数一定是收敛的.定义2.1.6 设是赋范线性空间,若是的线性子空间,则称为的子空间,若还是的闭集, 则称为的闭子空间. 明显地,若是空间,为的闭子空间,则是空间,反之亦然.定理2.1.11 设是空间,为的子空间,则是空间当且仅当是的闭集. 证明 设是空间,当,且时,则为的列,因而收敛于 上的一点,故,即,所以是闭集. 反之,设为列
7、,则为 的列,由于是空间,因此是收敛列, 即存在使,又由于是的闭子空间,因此,即在中收敛于,所以是空间.定义2.1.7 设是线性空间,为上的一个实值函数,且满足：（1） ；（2） ,对任意；（3） ,对任意,任意.则称为上的半范数. 明显地,上的范数一定是半范数,但对上的半范数,由于时不一定有,因此半范数不一定是范数.例2.1.9 在中,定义,易证是中的半范数,但对于,都有,因此不是的范数. 有什么办法能使中的问题转化为赋范空间中来解决呢？ 定义2.1.8 设是线性空间,是的线性子空间,若,则称与关于等价,记为易知,等价具有下面的三个性质（1） （反射性）；（2） 推出 （对称性）； （3）
8、, 推出（传递性）.明显地,若是线性空间的线性子空间,记, 则的全体在加法和数乘下是线性空间,称为对模的商空间,记为.在商空间中,对, 即是的零元,而对的每一元素,都是唯一确定的,并且对于加法和数乘都是唯一确定的.例2.1.10 对于,取, 则M为的子空间,对,当时有,即, 这时 当为赋范线性空间,为的闭线性子空间时,在商空间中还可以定义范数,使成为赋范线性空间.定理2.1.14 设是赋范线性空间,为的闭线性子空间,在上定义范数,则是赋范线性空间.利用上面的技巧,不难证明,当为上的一个半范数时,取,则是一个赋范线性空间,且对任意有, .当是空备赋范线性空间,为的闭子空间的,还具有完备性.定理2
9、.1.15 设是空间,为的闭子空间,则是空间. 2.2 范数的等价性与有限维赋范空间在同一线性空间上,可以定义几种不同的范数,使之成为不同的赋泛线性空间,但有时上的几种不同范数诱导出的拓扑空间是一样的,有时却很不相同,这主要是上的序列依范数收敛的不同引起的.定义2.2.1 设是线性空间,和|是上的两个不同范数,若对中的序列,当时,必有,则称范数比范数强,亦称比弱.若对中的序列,当且仅当则称范数与等价. 定理2.2.1 设和是线性空间上的两个不同范数,则范数比强当且仅当存在常数,使得对任意都有. 证明 若存在,使,则明显地时,有,因而比强.反过来,若范数比强,则必有,使.若不然,则对任意自然数,
10、存在,使. 令,则故,因而,但这与矛盾,所以必存在,使,对任意成立. 推论2.2.2 设与是线性空间上的两个不同范数,则范数与等价当且仅当存在常数,使得对任意,有推论2.2.3 设与是线性空间上的两个等价范数,则是空间当且仅当是空间. 思考题2.2.1 若与是线性空间上的两个不同范数,且和都是空间,是否就一定有与等价呢？定义2.2.2 设是维线性空间,是上的范数,则称为维赋范线性空间.有限维赋范线性空间是在1896年引入的,因此有限维赋范线性空间也称为空间. 若为维线性空间,为的一组线性无关组,则称为 的基,此时对任意,都可以唯一地表示成定理2.2.4 设是维线性空间是的基,则存在常数及使得对
11、任意都成立. 证明 对于任意,定义函数则对任意,有 这里,因此是到的连续函数.由于的单位球面是紧集,因此在上达到上下确界,即存在,使得 因此对任,有故即 下面证明,容易知道的证法是类似的.假设,则有,故 由是的基可知,从而,但这与矛盾. 定理 2.2.5 设是有限维线性空间,与是上的两个范数,则存在常数, 使得 定理 2.2.6 有限维的赋范线性空间一定是空间. 证明 若为维赋范线性空间的列,则对于的基有,由 可知亦为列,故存在,使得,因而有,使得 令,则,因此是收敛序列,所以是完备的. 在中,是列紧的当且仅当是有界闭集,在有限维赋范空间中是否成立呢？下面就来讨论有限维赋范线性空间 中紧集与有
12、界闭集的关系.定理2.2.7 设是有限维的赋范线性空间,则是紧的当且仅当是有界闭集. 证明 设为的基,则对任意,有定义到的算子: 则存在,使得从而是到的连续算子,且是一一对应的. 由可知是到的连续算子, 因此是到的拓扑同构.所以的紧集当且仅当 为的紧集,从而是的紧集当且仅当是有界闭集.问题2.2.1 若赋范线性空间的每个有界闭集都是紧集,则是否一定为有限维的赋范线性空间？ 为了回答上面的问题,先来讨论引理,这是在1918年得到的一个很漂亮的结果.引理2.2.8 （引理）设是赋范线性空间的闭真子空间,则对任意 ,存在,使得 对任意成立. 证明 由于是的闭真子空间,因此,故存在,令,则. 对任意,
13、由的定义可知,存在,使得令,则,且对任意,有由,和是线性子空间,可知因此故 由引理,容易得到有限维赋范线性空间特征的刻画. 定理2.2.9 赋范线性空间是有限维的当且仅当的闭单位球是紧的. 证明 明显地,只须证明是紧的时候,一定是有限维的. 反证法,假设是紧的,但不是有限维赋范线性空间,对于任意固定的 ,令,则是一维闭真子空间,取,由引理可知,存在且对任意成立,从而.同样地,令,则是二维闭真空子空间,因而存在,使对任意成立,从而且.利用归纳法,可得一个序列,对任意,有因而不存在任何收敛子序列,但这与是紧集矛盾,由反证法原理可知是有限维赋范线性空间.推论2.2.10 赋范线性空间是有限维当且仅当的每个有界闭集是紧的.对于无穷维赋范线性空间的紧集的刻画,就比较困难.在中,容易看出是的有界闭集,但不是紧集.为了讨论子集的紧性,需要等度连续的概念,它是由Ascoli和Arzel同时引入的.定义2.2.3 设,若对任意的,都存在,使得对任意的,任意的,时,一定有,则称是等度连续的.Ascoli给出了是紧的充分条件, Arzel在1895年给出了是紧的必要条件,并给出了清楚的表达.定理2.2.11 (Arzel-Ascoli 定理) 设,则是紧的当且仅当是有界闭集, 且是等度连续的. 2.3 Schau
