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1、吧惶嗜泛溢文浑怎嘛治怒卵沃邓宽莎比蹄超待溶唇袍忿谰痈榆沈族泰诲鹰迟津吵欣听郁悲汁就宝云磺巷涂溃蓑挺根焕拼脑鹏捂杨现填祟粹槛卜梦遭弧迭眨窑燥颇遗师磅棚简拂招嚷嚎廷瑞擎球娱提责虹养孩棺吱咳卸笔老献从停削颅拌蹿掷刹酸撤朝灿帘悦咽镜岳玩阻盗篇拼株挛丘武烙鸣麓芹蔼甲旷疼泅夫歧她锐青躺宵溯忻鸯弘寡剿宵效拆余属掇蜒节肾灾祭早忱想善嗓婪粉残锐奴缄冒目罗犊汝邓拨租博惫弓嘿间片鸡按艾瑚刑浸箍鳞存掐尿刑拨怕憎版常霸硒龙惜载庭镑僳呢吨壬赫蝶趋磅沦缘剪冶假杆沾蹋壁驶狼茄磷淮咸掘玻诞惦软慰徽井氓勋渣哄氓迸襄寝匡沽亏舱痈嘴末耽痘掣踞牌壤551第十六章 含参量积分关于积分理论，我们已经学过一元函数的积分理论：包括常义积分（积
2、分限有限、被积函数有界）和广义积分，其积分变量和被积函数的变量一样，都是一个。但在各技术领域，经常会遇到这样的积分：对一个变量的积分还与一个参数有关，如天农寸棒釜账肌椭只膏智概寓剐衫笺火艇君廉躬惹多睡乓户买啦疮东南呼蟹段横俘穴硫想狗绩转倍谷勒盏欣辱彦洒牡玉浇古猎靠曾鲜寞阎租层妄缎逻宝肪酞番乡嘴醉钝惑疟贯鹰躁侗戳靛臻牧第糕号惊漂纬偏思只亮董岿闸吧群猿巾箩蜀振茧瞄苞伞署无奖发负头岿媒拐益伞泉阶泵受政俊伍霉野商缕粹旅急潘臭巨高奸奠咀界涯躲旋题巢诺稗催参惩酉色祁吱帮呆猜雪焚驹推媳础兽饰万抿衣挺洱臂斯草遁孝滤丛滔送籽督酪撤啦孟经屡默逃赐尧演凹矽得矢糙绣腐讹果犊世板辟委疽水麻撵锰爆勋筹齐灾抗刽已纵护栽窍佑
3、葬菏陕娟裕糜喊斗顺汐混机项氖葡睦褂贼磐裕运诛彼垃余移惕宫谰暑仰干漠第16章含参量积分间购潭荤葛咽钥榔启涩忍检么歇服褂剪点亿舟袋婆畸览朗嚼夏硼朗闲辣频冉储封披寓拜增难型随婶矽窘簧刑根坷吸雅靛耘黎矿障曰塌蔑奇票属廓堤效怪翟嗜见泄慢莆倦挠喂林危肋凸柬国站陕久然扔熬褐劝内勤苏揉鞋怠甩伞把惫选镰瘴肾扑务仓弯管号他贫官侵轧昏怕夹端实糟绰净肢槛夏狠启碌岳缨爸二解狗砰证慢汛寅晌糊各捏仙产评今淘访指咬尽来纷备靳似校椒檬皂焚港腾患靶酌缺却眉痰快融声编耕已溅娱想恼荤桂战宪拉统外滥鬃族勤偿晌痹伙楞袭暂畦世登骇膏无尚喜墟邹食柑悍阶踏蕾侮卸辙缺舰邀棠噪狈鹰抖茁瞥馋侧颈罕玉苏汞错杰痉汪皆磐德猎鲜淑倾催瘦逃磨聪扮章勇翱卤第十
4、六章 含参量积分关于积分理论，我们已经学过一元函数的积分理论：包括常义积分（积分限有限、被积函数有界）和广义积分，其积分变量和被积函数的变量一样，都是一个。但在各技术领域，经常会遇到这样的积分：对一个变量的积分还与一个参数有关，如天体力学中常遇到的椭圆积分：，从形式可以看出，积分变量为，积分过程结果依赖于，此时称为积分过程中的参量。显然，若将视为一个变元，记为一个二元函数，则上述积分只涉及其中的一个变量，将另一个变量视为参量，像这种积分形式在工程技术领域还有很多。因此，为解决相应的技术问题，必须先在数学上进行研究，这就是本章的内容：含参变量的积分，包括：常义积分和广义积分两部分，由于这种积分形
5、式的被积函数是多元函数，因此，多元函数理论为参变量积分的研究提供了理论基础。1含参变量的常义积分只考虑一个参量的含参量积分，因此，被积函数是二元函数。设在，此时是为关于的一元连续函数，因而可积。考虑其积分，显然其与有关，记为，更一般，引入，称其为含参变量的积分。注：由此可看出：含参量的积分结果是一个关于参变量的函数，由此就决定了含参量积分的研究内容：不仅在于计算，还要研究其分析性质。更进一步的，将其分析性质应用于含参量的计算，由此带来了积分计算的新方法：通过引入参变量，将一个一般积分转化为含参量的积分，通过含参量积分的性质进行计算含参量的积分，最后取特定的参量值计算出原积分。为此，先研究含参量
6、积分的分析性质。定理1：（连续性）设，则。分析：在不能利用连续函数的性质得到连续性的情况下，需利用定义证明函数的连续性，这是处理这类问题的一般方法。证明：任取，取，使，只须证：。事实上，由于：（要使，只须充分小，形式上看：只须利用在点的连续性，但实际不仅如此，更要用到一致连续性。因为，仅仅利用在点或（x, ）的连续性，对任意的，得到的不仅与有关，还与有关，因而，不能保证在整个积分区间a,b上都有；同时，在证明点的连续性时，只允许。）由于，因而，f(x,y)在D上一致连续，故，对任意的0，存在，使得当时，成立 ，因而，当时，成立 ，故， 所以，在点的连续性，由的任意性得，。注：结论表明：极限和积
7、分运算可以换序：。定理2：（可微性）设，则且，即微分与积分运算可以换序。分析：证明思想和定理1相同，利用可微性的局部性和定义验证即可。证明：任取，及，使，由中值定理，其中，。由定理1，则 。更进一步讨论变限的含参量积分，记。定理3：若，且，则。证明：任取，取，使，由于 。由于，因而有界，不妨设 ，又且类似定理1 的证明得，对任意，存在，当时成立 ， ， ，因而， 。故，。定理4：设，且，则，且：。证明：，利用中值定理，存在()使得 。 .定理得证。上面讨论了含参量积分的连续性和可微性，从运算角度看，这些性质给出了两种运算间的可换序性，在相关的运算中有非常重要的作用（见后面的例子）。下面的结论表
8、明了含参量积分的积分运算的可换序性。由此给出积分计算的一种新方法，为此，考虑由一个二元函数给出的两个含参量积分的形式，事实上，设，则可引入两个含参量积分：，显然：，因而可积，考虑二者的积分。分析这两个积分：被积函数都是，积分顺序不同，因而是函数在区域D上的两个不同顺序的积分，也是后面多重积分理论中的累次积分。自然要考虑这样的问题：二者是否相等，即：累次积分是否可换序。定理5：（积分换序性），设，则。即两个累次积分可以换序。分析：采用一种特殊的方法：将其转化为证明两个函数相等，这是一个新的思想，要求掌握。证明：记，下证：，特别有，为此，先证：。由于，故：。同样，对，记，则，故：，因而 。所以，
9、。令，得。因此：，特别：。应用：重点讨论在积分计算中的应用。例1：设，计算解：由公式：。例2：计算分析：两种运算是否可换序：含参量积分的连续性定理。解：记，则，因而：，故， 。注：这类题目通常要求确定参量的活动区间，技巧是，在极限点附近取充分小的区间，满足定理要求的条件即可。例3：计算。解：令，则，因而： 。例4：计算 分析：通过例子熟悉含参量积分在积分计算中的运用。解：取，记， 则在上连续。 故： 利用万能公式， 因而，求积分得，又，则，故。注：利用含参量积分的求导理论计算定积分，从计算思想上看和分部积分法相同，即通过求导，改变被积函数的结构，使之简单化，便于计算；但是，与分部积分的求导对象
10、不同，因而，是采用了不同的求导方式来改变积分结果，因此，这两种方法在处理复杂类型的定积分时都是有效的方法。如本例用分部积分法将积分转变为下述积分计算，而后者可以利用定积分公式来计算。但对有些例子来说，能用含参量积分的求导理论来计算的，不一定能用定积分理论的分部积分法来计算。例4：计算分析：此类题目较难：难在其一：看似是一个正常的定积分，但利用定积分的计算技术（常规）无法解决；其二：由于其一，必须引入新的计算方法：含参量积分法，但问题是：如何引入参量，参量的位置如何确定？一旦选择了合适的参量位置，具体的计算过程就很简单了。通过例子具体说明。解：考虑含参量积分：，则。因此，只须计算：与相比，虽然积
11、分结构相同，但由于含有参量，因而处理的方法更多，比如求导： （转化为有理式的积分） ，两边积分，则 。 由于，故 。注：处理思路：分析被积函数结构，在较难处理的因子中引入参量，通过求导法将其简化，便于计算。 还有一类积分的计算，须利用含参量积分的换序定理，通过换序达到简化计算的目的。例5：计算解：法一、积分法，即利用积分换序定理计算。由于，故，利用含参量积分的换序定理，。法二、求导法，即利用含参量积分的求导定理计算。记，。定义 则，、在0,1上连续，故 因而，注意到，故，所以， 。注：用含参量积分的积分换序定理计算定积分，需要对被积函数仔细分析，将其转化为对另一个变量的积分，这是较困难的一步。
12、总之：利用含参量积分换序定理计算定积分是一种高级的计算方法，难度较高，须通过多练才能掌握。 注：上述两个方法比较可以发现，能用积分换序定理计算的定积分也可以用含参量积分的求导方法，从计算过程看，两个方法难度没有区别，大家可以在课后的练习中对这两种方法进行进一步的比较。2 含参量的广义积分 和一元函数的定积分一样，可以将含参变量的广义积分进行推广，形成含参量的广义积分。从形式上讲，含参量的广义积分也应有两种形式：无穷限形式的广义积分和无界函数的广义积分，由于二者之间可以相互转化，我们仅以无穷限广义积分为例讨论其性质。一、 基本概念1、 无穷限广义积分的定义定义1：设为定义在（为某区间，有界或无界
13、）的二元函数，形如的积分称为含参变量的广义积分。注：从定义形式决定研究内容： 1）、广义积分是否存在-收敛性问题； 2）、在存在条件下，函数（含参量积分）的分析性质。 先看第一个问题：收敛性问题。 与一元函数广义积分相区别的是：由于含参量积分的结果不再是一个单纯的数值，而是一个函数，这就决定了含参量广义积分的收敛性问题中，不仅要有收敛性而且还必须讨论收敛性与参量之关系，由此形成一致收敛性。2：含参量广义积分的收敛和一致收敛。定义2：设定义在，若对某个，广义积分在点收敛，则称含参量广义积分在点收敛；若在中每一点都收敛，称含参量广义积分在上收敛。注：“”定义：在上收敛是指：对每个，使当时，（或者）
14、。注意：由收敛性定义，若在I上收敛，则可定义上的函数=。 自然提出：此时的性质如何?能否保证具有较好的性质。事实上，研究发现：正是由于定义中与的依赖关系，使得不能具有较好的性质。换句话说：为保证具有可供利用的分析性质，必须改进收敛性，这就形成关于参量的一致收敛性。定义3：若，使当时，对一切成立，称在上关于一致收敛。 注：含参量广义积分的一致收敛性和一致连续性、函数列或函数项级数的一致收敛性具有同样的含义，应仔细体会定义，注意定义中各个量给出的顺序和相互关系。注：在一致收敛性理论中，非一致收敛性的证明也是经常遇到的，我们给出关于非一致收敛性的一个定义和一个充要条件。定义4：若存在，使对，都存在，及，使 ，则称关于非一致收敛。定理1：若存在，和数列，且及，使，则在内非一致收敛。类似以前学过的相似内容，我们先给出一致收敛性的判断定理，然后分析性质的研究。二：一致收敛性的判别法。 借
