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1、第三章 微分中值定理与导数的应用本章内容是上一章的延续，主要是利用导数与微分这一方法来分析和研究函数的性质及其图形和各种形态，这一切的理论基础即为在微分学中占有重要地位的几个微分中值定理。在分析、论证过程中，中值定理有着广泛的应用。一、教学目标与基本要求（一）知识1.记住罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论；2.记住泰勒公式及其拉格朗日余项的表达式；3.记住ex,sin(x),cos(x),ln(1+x),1/1+x的N阶麦克劳林公式；4.知道极限的末定式及其常见的几种类型的求法；5.知道函数的极值点、驻点的定义以及它们之间的关系；6.知道曲线的凹凸性与拐点的定义；7.知道弧微
2、分的定义与弧微分公式；8.知道光滑曲线、曲率和曲率半径的定义；9.知道求方程的近似解的基本方法。（二）领会1.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，领会罗尔定理、拉格朗日中值定理的几何意义；2.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理之间的联系；3.领会洛必达法则；4.领会函数的单调性与一阶导数之间的联系；5.领会函数的极值与一、二阶导数之间的联系；6.领会函数的极值和最值的定义以及它们之间的区别和联系；7.领会曲线的凹凸性与二阶导数之间的联系。（三）运用1.会用中值定理证明等式和不等式；2.会用洛必达法则求末定式的极限；3.会求一些函数的泰勒公式和利用泰勒公式求函数
3、的极限及一些函数的近似值；4.会用导数求函数的单调区间和极值；5.会用函数的单调性证明不等式；6.会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点；7.会求曲线的水平渐近线和铅直渐近线，会描绘函数的图形；8.会求一些最值应用问题；9.会求曲率和曲率半径；10.会用二分法和切线法求一些方程实根的近似值。（四）分析综合1.综合运用中值定理、介值定理和函数的单调性等证明方程实根的存在性和惟一性；2.综合运用中值定理、函数的最（极）值和凹凸性等方面的知识及构造性方法证明等式和不等式；3.综合运用洛必达法则，泰勒公式和其他方法求末定式的极限；4.综合运用函数的连续性、单调性、凹凸性和极值等方面的知识描绘函数的图形。二
4、、本章重点及难点1、 三个中值定理及泰勒公式2、 洛必达法则3、 函数的单调性，曲线的凹凸性与拐点4、 函数的极值概念及求法5、 函数的最值问题6、 函数图形的描绘7、 弧微分、曲率的概念及计算、曲率半径三、本章教学内容的深化和拓宽 柯西中值定理的几何意义以及运用 洛必达法则 函数极值在实践中的运用四、教学方法及注意事项本章的内容比较多，要学好它，大家一定要抓住其中心内容和主要特点，对本章中的思想方法要融会贯通，加深理解。首先要掌握中值定理的条件和结论，它是本章内容的理论基础，它建立了导数通向应用的桥梁。中值定理无论是在理论研究中还是在实际应用中都具有十分重要的作用。其次要掌握中值定理证明的思
5、想方法构造性证明方法。此方法是一个十分常用的数学思想方法，它不仅在中值定理的证明中，而且在不等式的证明，方程根的存在性及导数的应用中都具有广泛的应用，它为我们提供了求未定型的极限的一种重要方法，大家一定要将前面所介绍过的求极限的方法与洛必达法则结合起来，融会贯通，真正掌握和灵活使用洛必达法则。第四要熟悉和掌握导数的应用。利用导数可以研究函数的单调性和极值，最值，曲线的凹凸性和拐点等，对它们的研究，最基本的方法是用它们的定义和判定定理，这是很重要的。要注意所研究的问题与导数之间的联系，并加以比较。导数的应用问题的求法比较规范，步骤明确，简单易懂，但在求解过程中要特别注意列表法的使用。注意要点：1
6、 罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的条件与结论中的共同点与不同点，并且知道它们之间的关系；罗尔定理是拉格朗日定理的特例；拉格朗日定理又是柯西中值定理的特例。2 注意罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的中值定理的中值点是开区间内的某一点，而非区间内的任意点或指定一点，换言之，这三个中值定理都仅“定性”地指出了中值点的存在性，而非“定量”地指明的具体数值。3 结合这三个中值定理在本节中的应用以及在以后各章节的应用，反复体会这些定理在微积分学的意义与作用。3.1 中值定理一：内容要点1费马引理: f(x)在x0可导，且在某个领域U(x0)内.2中值定理： 罗尔中值定理：且f(a)=f(b),使得 拉格
7、朗日中值定理：，使得 柯西中值定理： 使得3推论 二：教学要求和学习注意点 教学要求：理解费尔马引理和拉格朗日中值定理并了解柯西中值定理。1. 会用中值定理证明简单的不等式和证明方程解的存在性。 学习注意点：2. 要注意罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的条件与结论中的共同点与不同点，并且知道它们之间的关系：罗尔定理是拉格朗日定理的特例；拉格朗日定理又是柯西定理的特例。3. 要注意罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的中值点是开区间（a,b）内的某一点而非区间内的任意点或指定一点。换言之，这三个中值定理都仅“定性“地指出了中值点的存在性，而非”定量“地指明的具体数值。4. 要结合这三个中值定理在本节中的应用
8、以及在以后章节中的应用，反复体会这些定理在微积分学中意义与作用。主要内容： 本节将运用微分学的两个基本定理，这些定理是研究函数在区间上整体性质的省力工具，为此，先介绍Rollo定理：Rollo定理：若函数f(x) 满足：（i）f(x) 在 a,b 上连续；（ii）f(x) 在（a,b）可导，（iii）f(a) =f(b), 则在（a,b）内至少存在一点，使得f()=0.证明：由（i）知f(x)在a,b上连续，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此时，又有二种情况：（1） M=m，即f(x)在a,b上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)M=m，0，因此，可知为（a,b）
9、内任一点，都有f()0。（2） Mm,此时M和m之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设Mf(a)（对mf(a)同理证明），这时必然在（a,b）内存在一点，使得f()=M,即f(x)在点得最大值。下面来证明：f()=0首先由（ii）知f()是存在的，由定义知：f()= .(*)因为为最大值，对有 f(x) Mf(x)M0,当x时，有0当x时，有0。又因为（）的极限存在，知（）极限的左、右极限都存在，且都等于，即，然而，又有 和 。注 1：定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。 2：定理中的点不一定唯一。事实上，从定理的证明过程中不难看出：若可导
10、函数在点处取得最大值或最小值，则有。 3：Rolle定理的几何意义：设有一段弧的两端点的高度相等，且弧长除两端点外，处处都有不垂直于轴的一切线，到弧上至少有一点处的切线平行于轴。【例1】 设多项式的导函数没有实根，证明最多只有一个实根。Lagrange中值定理在Rolle定理中，第三个条件为(iii)，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变，这就是Lagrange中值定理：若函数满足：(i)在上连续；(ii)在上可导；则在内至少存在一点，使得 。若此时，还有， 。可见Rolle中值定理是Lagrange中值定理的一个特殊情况，因而用Rolle中
11、值定理来证明之。证明：上式又可写为 (1)作一个辅助函数： (2)显然，在上连续，在上可导，且 ， 所以由Rolle中值定理，在内至少存在一点,使得。 又 或 。注 1：Lagrange中值定理是Rolle中值定理的推广； 2：定理中的结论，可以写成，此式也称为Lagrange公式，其中可写成： (3)若令 (4) 3：若，定理中的条件相应地改为：在上连续，在内可导，则结论为： 也可写成 可见，不论哪个大，其Lagrange公式总是一样的。这时，为介于之间的一个数，(4)中的不论正负，只要满足条件，(4)就成立。 4：设在点处有一个增量，得到点，在以和为端点的区间上应用Lagrange中值定理
12、，有 即 这准确地表达了和这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。 5：几何意义：如果曲线在除端点外的每一点都有不平行于轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的联线。由定理还可得到下列结论：定理：如果在区间上的导数恒为0，则在上是一个常数。证明：在中任取一点，然后再取一个异于的任一点，在以，为端点的区间 上，满足：(i)连续；(ii)可导；从而在内部存在一点，使得 又在上，从而在上， ， 所以 ， 可见，在上的每一点都有： （常数）。 Cauchy中值定理Cauchy中值定理：若满足：(i) 在上连续；(ii) 在内可导；(iii)在内恒不为0；(iv)；则在内至少存在
13、一点，使得 。证明：令，显然，在上连续，且在内可导，更进一步还有 ，事实上， 所以满足Rolle定理的条件，故在内至少存在一点，使得，又 因为， 注 1：Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广，事实上，令，就得到Lagrange中值定理； 2：几何意义：若用 （）表示曲线，则其几何意义同前一个。【例1】 若函数在内具有二阶导数，且，其中，证明在内至少有一点，使得。【例2】 若，证明。证明：对，取， ， 不难验证：满足Lagrange中值定理的条件，故在内至少存在一点，使满足 ，即 由的任意性，知本题成立。注：条件“”可改为“”，结论仍成立。【例3】 证明：。【例4】 证明：若在上可导，且存在，则。3.2 法则一：内容要点 在求0/0型或/型未定式极限时，在一定的条件下可以用洛必达法则。1（0/0型）： Limit(f(x)/g(x)=lim(f(x)/g(x) (xx0) 2（/型）：Limit(f(x)/g(x)=lim(f(x)/g(x) (xx0)以上xx0的极限过程改为xx0+0，xx00，x, x+,或x时，公式仍然成立。 二：教学要求和学习注意点 教学要求：会用洛必达法则求各种类型的未定式极限，基本类型是？和？，而1. 对0*，型未定式，可通过取倒数、通分等恒等变形化为0/0型或/型。2. 对00，1
