《九年级数学上册知识点归纳1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学上册知识点归纳1（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、22.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： 只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax+ bx + c = 0(a 0).其中，ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 22.2 降次解一元二次方程 22.2.1配方法 知识
2、点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x=a(a0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=. （2） 直接开平方法适用于解形如x=p或(mx+a)=p(m0)形式的方程，如果p0，就可以利用直接开平方法。 （3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元
3、一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1） 把常数项移到等号的右边； 方程两边都除以二次项系数； 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 22.2.2公式法 知识点一 公式法解一元二次方程 （1） 一般地，对于一元二次方程ax+bx+c=0(a0)，如果b-4ac0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求
4、根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0(a0)的过程。 （3） 公式法解一元二次方程的具体步骤： 方程化为一般形式：ax+bx+c=0(a0)，一般a化为正值 确定公式中a,b,c的值，注意符号； 求出b-4ac的值； 若b-4ac0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b-4ac0，则方程无实数根。 知识点二 一元二次方程根的判别式 式子b-4ac叫做方程ax+bx+c=0(a0)根的判别式，通常用希腊字母表示它，即=b-4ac
5、. 0，方程ax+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根 一元二次方程 =0，方程ax+bx+c=0(a0)有两个相等的实数根 根的判别式 0，方程ax+bx+c=0(a0)无实数根 22.23 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1） 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 （2） 因式分解法的详细步骤： 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0； 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； 解一元一次方程即可
6、得到原方程的解。 知识点二 用合适的方法解一元一次方程 方法名称 理论依据 适用范围 直接开平方法 平方根的意义 形如x=p或（mx+n）=p(p0) 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 当ab=0，则a=0或b=0 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。 22.2.4一元二次方程的根及系数的关系 若一元二次方程x+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程ax+bx+c=0(a0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=-b/a，,x1x2=c/a 22.3 实际问题及一元二次方
7、程 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。 （2） 设：是指设元，也就是设出未知数。 （3） 列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 （4） 解：就是解方程，求出未知数的值。 （5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6） 答：写出答案。 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1） 数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，
8、x+1。 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c. （2） 增长率问题 设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）=b。 （3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：总利润=总销售价-总成本；总利润=单位利润总销售量；利润=成本利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积及图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。 二次函数 1.定义：一般地，如果y=ax+b
9、x+c（a,b,c是常数, ），那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y=ax的性质 (1)抛物线y=ax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数y=ax的图像及的符号关系. 当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点 3.二次函数y=ax+bx+c 的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线. 4.二次函数y=ax+bx+c用配方法可化成：y=a(x-h)+k的形式，其中h=-b/2a,k=4ac-b/4a. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： y=ax；y=ax+k；y=a(x-h)；y=a(x-h)+k；y=ax+bx+c. 6.抛物线的三要素：开
10、口方向、对称轴、顶点. a决定抛物线的开口方向： 当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴(或重合)的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0. 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法：，顶点是，对称轴是直线. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是. (3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴
11、及抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 9.抛物线中，a,b,c的作用 (1)a决定开口方向及开口大小，这及中的a完全一样. (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故： b=0时，对称轴为y轴； (即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧； (即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧. (3)c的大小决定抛物线及y轴交点的位置. 当x=0时，y=c，抛物线及y轴有且只有一个交点(0，c)： c=0，抛物线经过原点; c0,及轴交于正半轴；,及轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则.
12、 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 x=0(y轴) （0,0） 当a0时 x=0(y轴) (0,k) 开口向上 x=h(h,0) 当a0时 x=h(h,k) 开口向下 11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式：.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. (2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像及x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：. 12.直线及抛物线的交点 (1)y轴及抛物线得交点为(0,c) (2)及y轴平行的直线x=h及抛物线有且只有一个交点(h, ). (3)抛物线及x轴的交
13、点 二次函数的图像及x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线及x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 两个交点抛物线及x轴相交； 一个交点(顶点在x轴上) 抛物线及x轴相切； 没有交点抛物线及x轴相离. (4)平行于x轴的直线及抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是的两个实数根. (5)一次函数的图像l及二次函数的图像G的交点，由方程组 的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时l及G有两个交点; 程组只有一组解时l及G只有一个交点； 程组无解时l及G没有交点. (6)抛物线及轴两交点之间的距离：若抛物线及x轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 13二次函数及一元二次方程的关系： (1)一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况 (2)二次函数的图
