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1、(完整word版)参数方程第二节 参数方程一、基础知识1曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M（x,y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y）0叫做普通方程2参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数(2）普通方程化参数方程：如果xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg（t)，则得曲线的参数方程3直线、圆、椭
2、圆的参数方程（1)过点M(x0,y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数）直线参数方程的标准形式的应用过点M0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程是若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2,则M1M2|t1t2。若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t，中点M到定点M0的距离MM0|t.若M0为线段M1M2的中点，则t1t20。M0M1|M0M2|t1t2|。（2）圆心在点M0(x0，y0），半径为r的圆的参数方程为（为参数）(3)椭圆1(ab0）的参数方程为 (为参数） 典例已知直线l的参数方程为（t为参数)，圆C的参数方程为（为参数)(1)求直线l和圆C的普通方
3、程;（2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围解(1)直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216。（2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，解得2a2.即实数a的取值范围为2，2 解题技法将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin2cos21等)提醒将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解 题组训练1将下列参数方程化为普通方程（1)（t为参数)(2）(为参数
4、)解：（1）由参数方程得etxy,etxy，所以(xy)（xy)1，即x2y21。(2)因为曲线的参数方程为(为参数），由y2tan ,得tan ,代入得y22x。2。如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，求圆x2y2x0的参数方程解:圆的半径为,记圆心为C,连接CP，则PCx2，故xPcos 2cos2，yPsin 2sin cos 。所以圆的参数方程为(为参数)典例（2019广州高中综合测试)已知过点P（m,0）的直线l的参数方程是（t为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos .(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2
5、)若直线l和曲线C交于A，B两点，且PA|PB|2，求实数m的值解(1)消去参数t，可得直线l的普通方程为xym，即xym0.因为2cos ,所以22cos 。可得曲线C的直角坐标方程为x2y22x,即x22xy20。(2）把代入x22xy20，得t2（m）tm22m0。由0，得1m3.设点A，B对应的参数分别为t1,t2，则t1t2m22m.因为|PA|PB|t1t22，所以m22m2，解得m1。因为1m3，所以m1。 解题技法1应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义2圆和圆锥曲线参数方程的应用有关
6、圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键 题组训练1(2019湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin。(1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最大值，并求此时点P的坐标解：(1)曲线C1的普通方程为y21,由sin，得sin cos 2，得曲线C2的直角坐标方程为xy20.(2）设点P的坐标为（cos
7、 ，sin ），则点P到C2的距离为，当sin1，即2k(kZ），2k（kZ)时，所求距离最大，最大值为2,此时点P的坐标为.2(2018全国卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为（t为参数)（1）求C和l的直角坐标方程；（2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率解：(1）曲线C的直角坐标方程为1.当cos 0时,直线l的直角坐标方程为ytan x2tan ，当cos 0时,直线l的直角坐标方程为x1。（2)将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程（13cos2)t24(2cos sin )t80.因为曲线C截直线l所
8、得线段的中点(1，2）在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直线l的斜率ktan 2。 典例（2018河北保定一中摸底)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（t为参数),在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos1.（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2）设直线l与x轴，y轴分别交于A,B两点,点P是圆C上任一点,求A,B两点的极坐标和PAB面积的最小值解（1）由消去参数t，得(x5）2（y3)22,所以圆C的普通方程为（x5）2(y3)22.由cos1，得cos sin 2，所
9、以直线l的直角坐标方程为xy20.(2）直线l与x轴，y轴的交点分别为A（2，0),B(0,2)，则点A，B的极坐标分别为（2,2k)（kZ），（kZ)设点P的坐标为(5cos ，3sin ),则点P到直线l的距离d，当cos1，即2k（kZ)，2k（kZ）时，点P到直线l的距离取得最小值，所以dmin2,又|AB|2，所以PAB面积的最小值Sdmin|AB|224. 解题技法极坐标、参数方程综合问题的解题策略（1）求交点坐标、距离、线段长可先求出直角坐标系方程，然后求解(2）判断位置关系先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断（3)求参数方程与极坐标方程综合问题一般是先将方程化为直角坐标方程
10、,利用直角坐标方程来研究问题 题组训练1在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1：24cos 30,0,2，曲线C2:，0，2（1)求曲线C1的一个参数方程；(2）若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB的值解：(1)由24cos 30,得x2y24x30，所以(x2）2y21.令x2cos ,ysin ,所以C1的一个参数方程为(为参数)(2）因为C2：43,所以43,即2x2y30，因为直线2x2y30与圆（x2)2y21相交于A，B两点,所以圆心到直线的距离为d,所以AB|2 2。2在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以坐标原点O
11、为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为，半径为2，直线l与圆C交于M,N两点(1)求圆C的极坐标方程；（2)当变化时，求弦长|MN的取值范围解:(1)由已知,得圆心C的直角坐标为(1，），圆的半径为2，圆C的直角坐标方程为(x1）2（y)24，即x2y22x2y0，xcos ，ysin ,22cos 2sin 0，故圆C的极坐标方程为4cos.（2)由（1）知，圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0，将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得，（2tcos )2（tsin ）22（2tcos ）2(tsin )0，整理得，t22tcos 30，设M，N两点对应的参数分
12、别为t1，t2,则t1t22cos ，t1t23，MN|t1t2|.,cos ，MN|，4故弦长|MN的取值范围为,41若直线(t为参数）与圆(为参数）相切，求直线的倾斜角。解:直线(t为参数)的普通方程为yxtan .圆(为参数）的普通方程为（x4）2y24。由于直线与圆相切，则2，即tan2，解得tan ，由于0,)，故或.2在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)，设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值解：直线l的普通方程为x2y80.因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，从而点P到直线l的距离d，当s时，dmin。因此
13、当点P的坐标为（4，4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.3已知P为半圆C:(为参数，0)上的点，点A的坐标为（1,0）,O为坐标原点，点M在射线OP上,线段OM与C的弧AP的长度均为.（1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2)求直线AM的参数方程解：（1)由已知，点M的极角为，且点M的极径等于,故点M的极坐标为.（2）由（1)知点M的直角坐标为，A(1,0）故直线AM的参数方程为(t为参数）4（2019长春质检）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1,2），点C的极坐标为,若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以点C为圆心，3为半径（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（2）设直线l与圆C相交于A，B两点,求|PA|PB|。解:（1）由题意得直线l的参数方程为(t为参数）,圆C的极坐标方程为6sin 。(2)由(1)易知圆C的直角坐标方程为x2(y3）29，把代入x2（y3）29，得t2（1)t70，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，t1t27，又|PA|t1,|PB|t2，PA|PB|7.5(2018南昌一模）在平面直角坐标系xOy中,曲线C
