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1、第17题自然数的立方和有什么规律1323=132333=132333+43=你能发现自然数的立方和有什么规律吗？毛分析：试算一归纳一猜想一论证是研究与发现数学规律的重要手段，也是探求数学模式的重要途径。要解决本题，我们可先考察前2个自然数的立方和，前3个自然数的立方和，前4个自然数的立方和等特殊情形，再从中寻求一般的规律。解：试算：1323=9=3213+2333=36=621323+33+43=100=10213+233343+53=225=152归纳：从以上的试算可发现它们的结果均为一个平方数，那么这些平方数又有怎样的规律呢？我们再进行试算：12=3123=612+3+4=101+2345
2、=15由此我们可进一步归纳发现前n个自然数的立方和正好等于前n个自然数和的平方。因此我们猜测：1323+33n3=(123+n)2回顾：以上为了发现前n个自然数的立方和的规律，我们先观察n=2，3，4，5的一些特殊情况，从中发现规律，进而对它的一般情况作出预测，猜测前n个自然数的立方和为前n个自然数之和的平方。数学家或科技人员面对某一个问题，在研究它的一些特殊情况的基础上，对它的一般情况作出预测，这样的预测叫做猜想。例如，德国数学家哥德巴赫(Gold-bach，16901764)经过观察，发现一个有趣的现象：任何大于5的整数，都可以表示为三个质数的和，他猜想这个命题是正确的，但他本人无法给予证
3、明。1742年6月6日，哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉(Euler，17071783)欧拉经过反复研究，发现解决问题的关键在于证明任意大于2的偶数，都能表示为两个质数的和。于是，欧拉对大于2的偶数逐个加以观察，得到如下一张长长的表：4=226=338=3510=37=5512=5+714=3+11=7+716=313=51118=513=71120=317=7+1322=319=517=11+1124=519=7+17=111326=323=719=131328=523=1117这张表还能继续延长下去，最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2
4、的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”这就是著名的哥德巴赫猜想。两百多年来，许多优秀的数学家为攻克这猜想付出了辛勤的劳动。目前，利用计算机已经验证了1亿3千万个偶数，还未发现反例。我国数学家在对筛选法作了重大改进后，于1966年5月，证明，任何一个充分大的偶数，都可以表示成两个数之和，其中一个是素数(即质数)，另一个或者是素数，或者是两个素数的乘积。这结果震惊中外，被命名为“陈氏定理”。这定理已与证明哥德巴赫猜想仅一步之遥了，但这是最艰难的一步。近年来，各国数学家竞相攀登，但至今还未有人能摘到这颗数学“皇冠上的明珠”。人们对一个个猜想所作的大量研究工作，
5、无论是攻克了，还是没有攻克，均促进了数学的发展。数学中的许多定理、法则等都是以个别、特殊的数学现象中，通过寻求共性，发现规律，作出合情合理的猜想后得到的。猜想不一定总是成立，有时它是正确的，但有时也可能是错误的，必须对它加以证明，才能确认。法国数学家费尔马1640年发现：即F(0)=3，F(1)=5，F(2)=17，F(3)=257，F(4)=65537，都是质数，于是，他猜想F(n)(n为自然数)都是质数，4294967297，这个数能被641整除，所以f(5)不是质数，后来又有人发现n=6，7，8，9，11，12，15，18，23时，f(n)都不是质数。虽然由猜想得出的结论并不一定可靠，然
6、而从数学发现和培养探索能力的角度来说，则是十分重要的。牛顿也曾说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”。观察以下式子你能得出什么规律？1=11341359135716因为1=12，4=22，9=32，16=42，我们可猜想前n个正奇数的和等于n的平方，即：1+3+5+(2n-1)=n2计算下列各式的值，你能得出什么规律？(1234)1(2345)1(3456)1(4567)1因为(1234)1=25=52(2345)1=121=112(3456)1=361=192(4567)1=841=292所以我们可猜想：n(n1)(n2)(n3)1=n(n3)12即：n(n1)(n2)(n3)1=(n
7、23n+1)2注：猜想虽然重要，但它的正确性还需通过严格的论证。对于以上归纳猜测得到的1323+n3=(1+2n)2这种与自然数有关的数学命题，我们常采用数学归纳法来证明它们的正确性。所谓数学归纳法就是：先证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立，然后假设当n=k(kN，kn0)时命题成立，证明当n=k1时命题也成立(因为证明了这一点，就可以断定这个命题对于n取第一个值后面的所有自然数也都成立)。证明：(这里用几何方法)当n=1时，画一个边长为1个单位的正方形，面积为12，数值上等于13。当n=2时，把长为1的正方形看作第1层壳，在它上面再镶上第2层壳，构成边长为12的正方形，面积为(
8、12)2，这层壳的面积为8，因此(12)2=18=1323，再镶上第3层壳(图171)就有(123)2=1827=132333需要证明：第k层壳(图172)的面积S为k3。因为S=SA+SBSCSC=k2观察(或试算)往往可以看出事物的个别的特征，是探索规律的基本条件。归纳就是将所反映出来的特征进行分类、整理、加工、使之初步上升为本质的东西。它是探索规律的前提。正确的归纳，抓住规律的本质，充分根据数字、式子、图形的基本特征，是合理猜想的基础。猜想不是盲目瞎猜，是根据特征分析，带有规律的发现，证明是用数学工具对思维的正确程度加以判断的手段，只有严格论证才能反映出对规律猜想的合理性。观察(或试算)
9、、归纳，猜想，证明在探求或研究具体数学规律中有机地结合在一起，这样能起到积极的作用。最后，再说明一点，通常猜想是指数学家对重大数学问题，根据所发现的规律作出的合情推理，对于我们所遇到的数学问题，在发现规律后，所作的合情推理，往往只能称为猜测。猜测法也是解决问题的一个重要策略，它有助于构思解题的方向。在解决问题时，学会做各种数学猜测，然后加以证明，有利于发展创造性思维。练习171古希腊学者用圆球堆成大大小小的一系列等边三角形：每堆球数依次为1，3，6，这种数叫做“三角形数”或简称“三角数”。著名的几何学家毕达哥拉斯曾对三角形数作过专门的研究，并获得了丰硕的成果。如果用tn表示第n个三角形数，则由
10、上图可知t1=1，t2=3，t3=6(1)求t2-t1，t3-t2，t4-t3的值，并找出规律。(2)求t1t2，t2t3，t3t4的值，并找出规律。(3)求tn。2围棋盘上共有324个小方格，在此棋盘上任意画上一条直线，这样的直线最多能穿过的小方格的格数是多少？练习17答案1因为t1=1，t2=3，t3=6，t4=10，所以t2-t1=2，t3-t2=3，t4-t3=4，因此我们不难发现tn-tn-1=n这一规律。同样t1t2=4=22，t2t39=32，t3t4=16=42故我们也能发现tn-1+tn=n2这一规律。因为：t2-t1=2t3-t2=3t4-t34tn-tn-1=n将以上n-1个等式相加得tn-t123n所以tn=123+n2当棋盘上共有22个小方格时，由附图171(1)可见，任画一直线最多能穿过3个小方格。当棋盘上分别有33、44个小方格时，由附图17-1(2)、(3)可见，任画一直线分别最多能穿过5个、7个小方格。由以上的观察，我们可归纳猜想。当棋盘上共有nn个小方格时，任画一直线最多应能穿过(2n-1)个小方格。而本题只有324个小方格，即有1818个小方格，所以n等于18，因此最多能穿过35个小方格。
