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1、数形结合思想在中学数学解题中应用摘要：数形结合在数学中应用广泛，新教材也在结合数形结合思想来编写。数形结合思想在数学中得到了充分的重视。本文就数形结合思想在数学问题解析中的应用加以整理、总结，并给出部分例题，以便得到更好的推广。关键词：数形结合代数问题 几何问题 相互转化For combining the application in mathematics(YANG zhongxiang)Abstract : Several combining in mathematics teaching is widely used in combination, a new mathematical
2、thought to write with. Several combining ideas in mathematics got full attention. Based on several combining analytical mathematical thoughts in the application are summarized, and gives some examples, in order to get better.Key words ： Combining the number Algebra problem Geometry problems Mutual t
3、ransformation前言数形结合思想在实际的应用中显得十分重要和广泛，数形结合 思想几乎贯穿了整个解析几何，可以说数形结合思想是解析几何的 精髓所在。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空 间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的 内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精 确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用 这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到 解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形” 的矛盾的统一。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难 入微，数形结合百般好，隔裂分家
4、万事休。”关键是代数问题与图 形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。美国著名数学教育家波利亚说过:“掌握数学就意味着要善于 解题。”只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能 提出新看法、巧解法。中、高考试题十分重视对于数学思想方法的 考查，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地 应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质， 使自己具有数学头脑和眼光。而数形结合思想又显得格外重要和实 用。但在应用中也应该注意其应用的适用性、科学性、合理性等特 性。一、数形结合思想理论一）、数形结合思想的定义：数形结合是数学中重要的思想方法 之一，是通过
5、数和形两者之间的关系来解决数学问题的方法思 想。二）数形结合思想的研究对象：数形结合思想的主要研究对象 是数与几何图形或几何图形与数的关系，即对于所要研究的代 数问题可以通过研究其所表示的曲线、图象等几何图形来得以 解决，反之对于几何图形问题也可以转化为其所对应的代数问 题加以解决。三）数形结合思想的本质 ：数形结合思想的本质是几何图形的 性质反映了数量关系；数量关系决定了几何图形的性质。“数” 不仅具有精确性，它还具有联系性（即在某一特定范围内它是 联系不间断的），唯一性，逻辑性等，他们之间可以经过多种变 换。而几何图形往往具有直观性，我们可以较直观的从图象信 息中分析得到信息。四）数形结合
6、思想的研究方法：数形结合思想的方法应用主要 可以分为两种情况：1）、借助于“数”的精确性来阐明“形”的属性；2）、借助于“形”的直观性来阐明“数”的关系。五）数形结合思想的研究思路：数形结合思想的基本思路是：根据“数”的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决“数”的问题；或将图形信息部分或全部转换成代数信息，进而削弱或清除“形”的推理部分， 使要解决的“形”的问题转换为数量关系的讨论。通过以上转 换使问题得以解决或简单化。二、数形结合思想的实际应用一)在一般方程中的应用：方程f (x) -g(x) = 0的解情况，可化为f(x)=g(x)的解情况， 也可看作函数y二
7、f(x)与y二g(x)图像的交点的横坐标的情况, 所以只要我们准确地在数轴或坐标轴中画出这两个函数的图像，再 根据图像就能很容易地看出它们有几个交点，及交点大致的位置或 坐标，还有一些其它的重要信息，这样我们就可以根据这些信息来 解题，我们也可以用数形结合这种方法为自己提供一种思考问题的思路，也作可以作为一种验证方法用来检查自己到底有没有做错。例题1方程lnx=cosx解的个数为。分析：画出函数y=lnx与y=cosx的图像(如图1)。注意观察两个利用代数方法求解：lnx=cosx已知lnx的定义域为0x,而cosx在此定义域内的值域为(T,1) 而lnx在(-1,1)内的定义域为(1/e,
8、e), cosx在此定义域内取 到最大值cos (1/e)和最小值cose。由此，根据函数的值域可知, 在定义域中存在有且只有一个实数根。这一结论与图形求解结论一 致。显然，通过上可以题看出，函数的解析式和图像的实质是相同的，在 解题时经常要相互转化，尤其是解决较为繁琐的（如方程解的个数、 分类讨论、求参数的范围等）问题时，更要充分发挥图像的直观作 用，可以代数问题转化为几何问题，实现数形转换。但转换时，要 注意方式、方法，如方程f （x） =g（X）的解的个数可以转换为函 数y二f （x）和y二g（X）的图像的交点个数问题。（二）三角函数与三角函数图象：（1）三角函数图象：三角函数是解析几何
9、中常用的几种函数之一， 在中学的各个学习阶段都显得尤为重要，特别是在近几年的中、高 考中都占有一定的比重，其图象特点为正弦函数关于原点对称；余 弦函数关于x轴对称；正、余切函数关于原点对称，下面来看各种 函数的图象特征：如图 2-2,2-3 所示：图 2-2例题2函数y=sin (x+n /4)在闭区间()A. -n/2, n/2是增函数B. -3n/4, n/4是增函数C. -n,0是增函数D. -n/4,3n/4是增函数解析，本题可以先根据图象直观的进行判断，函数y=sin (x+n/4)的图象如下图所示：图 2-6由上图可得该函数的增区间为-3 n/4, n/4,C选项满足题意。从上题可
10、以看出，任意三角函数所对应的曲线都可以经过原图象经过延长、拉伸或平移的变换而得到的，一般而言，对于任意的三角函数图象都存在对应的三角函数。并且可以说正、余弦函数图象是由圆变换得来的，如图 2-4 所示：变换后得到的图象图 2-4由此我们可以用圆来记忆三角函数的性质和解决一些三角函数的问题。例题3:在（0,2n ）内，使sinxcosx成立的x的取值范围为解析：如图 2-5 所示；注意，在单位圆上，使sinx, cosx 的角x的终边与一、三象限角平 分线重合，可知终边在该直线上 方的角X有sinxcosx (如左图 所示)，由此得出满足题意的x 取值范围为XW(n/4,5 n/4), 即为图中
11、阴影部分所表示区域。代数法：把sinxcosx转化为求sinx-cosx0,即皿in (x-n/4)0,求在(0。分2)上的解，解得xE(n/4,5n/4) 与图象解出一致。(三) 不等式(组)、函数用象表示：在函数中,函数的解析式和图像的实质是相同的。同样,不等式也可以用图象表示,函数图象是用曲线的,那么,不等式就用所对应的区域来表示,该区域就在该不等式化为方程后所表示的曲线的领域 内。例题4：设函数f (x),g(x)分别是定义域在R上的奇函数和偶函数，当 x=0, y=0值的坐标是图2-8解析：这是线性规划问题，运用数形结合的思想方法，如上图 2-8所示，做L： 6x+8y=0的直线，然
12、后向右（上）平移，使得L与 阴影部分相交又到原点距离最大的交点，得（0,5）。本题主要利用不等式组来确定x，y的取值范围（图中阴影部 分），并利用该范围内的点做为定义域求满足目标函数的点，这是 数形结合的应用中较为常见的“数”“形”转换的方法。它避免了纯代数运算的繁杂性，较为充分的体现出了“形”的直观性。由上两个例题可以看出，利用数形结合方法来解不等式（组）， 不仅可以避免许多繁杂的代数运算，简化解题的程序。而且可以使 做题的过程更加直观。（四）曲线方程与曲线方程图象： 曲线方程是中学数学中的重要组成部分，它包括圆的曲线方 程、椭圆的曲线方程、双曲线方程，抛物线方程等曲线方程，数形 结思想合在
13、这一方面体现的更为重要，整个曲线方程几乎都是围绕 数形结合思想来分析、解决问题。例题5：如果实数x, y满足等式（x-2）2+y2=3，求y/x的最大值解析：本题作为代数问题的形式，y/x的最大值不易直接求出，若采用数形结合思想,利用 y/x 的几何意义则较为简便,如图 2-10 所 示，在直角坐标系中，（x-2）2+y2=3表示以（2,0）为圆心，31/2为 半径的圆，y/x二（y-0） /（x-0）表示圆上任意一点P （x,y）与原点 连线斜率，当0P与圆相切，角POQ=60 时，y/x取得最大值31/2。扛Y图 2-10例题 5.圆 x2+y2+2x-4y-3=0 上到直线 l：x+y+
14、1=0 的距离为 21/2的点共有解析：先将圆的一般方程化为标准方程(x+l)2+(y-2)2=8，它 与直线x+y+1=0的位置关系如图2_9所示，0、(T, -2)是圆心，A (-1,0)和B(0,-1)是直线x+y+1=0与坐标轴的交点，连结O、B，易 知 0、B 丄AB，而且 0、B=2i/2,此圆的半径r=8i/2，延长0、B,交圆于C,则BC=2i/2，做直径 DE/AB,则点D、E到直线x+y+1=0的距离都是21/2圆到直线距离为21/2的点有C,D,E三个。例题 7：在平面直角坐标系 x0y 中，抛物线 y=x2 上异于坐标原点 0 的 两个 不同动点 A,B 满足 A0 丄 B0 ， 如 图 2-11 所 示 ：图 2-11
