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1、近世代数课后习题参考答案第四章 整环里的因子分解1 素元、唯一分解1. 证明：不是任何元的真因子。证当时若则故矛盾当时，有（是单位）就是说是它自己的相伴元2. 我们看以下的整环，刚好包含所有可以写成是任意整数，的整数）形式的有理数，的哪些个元是单位，哪些个元是素元？证）的单位总可以把表为是或奇数，非负整数）我们说时，即是单位，反之亦然 ）的素元依然是的限制同上）我们要求）只有平凡因子满足）的是奇素数故而是奇素数是是素元，反之亦然，是刚好包含所有复数整数）的整环，证明不是的素元，有没有唯一分解？ 证（）的元是单位，当而且只当时，事实上，若是单位 则 即但是一正整数，同样也是正整数，因此，只有反之
2、，若，则或这些显然均是单位此外，再没有一对整数满足，所以的单位只有。 （）适合条件的的元一定是素元。事实上，若则又由也不是单位若则或是单位是的相伴元是单位是的相伴元不管哪种情形，只有平凡因子，因而是素元。 （）的元不是素元。若则这样，只可能是 当由是单位当由是单位此即中有一是的相伴元现在看的情形可能的情形是 显然由（）知的是素元，故知是素元之积 （）的单一分解均为单位 唯一分解环 证明本节的推论 证本节的推论是；一个唯一分解环的 个元在里一定有最大公因子，的两个最大公因子只能查一个单位因子。用数学归纳法证当时，由本节定理知结论正确。假定对个元素来说结论正确。看的情形设有最大公因子为。，的最大公
3、因子为即而 又故是的公因子假定 又 这就是说，是的最大公因子若是的最大公因子那么且 若则 则即是单位故 假定在一个唯一分解环里 证明当而且只当是的一个最大公因子的时候，互素证假定是的一个最大公因子若不互素则有而不是单位那么这就是说是的公因子所以即 故是单位 矛盾 假定互素 令是的最大公因子 则有 即 是的公因子于是是单位 那么是的最大公因子3 假定是一个整环，和是的两个主理想证明当而且只当是的相伴元的时候证假定 是单位所以是的相伴元 假定（单位） 故（ 主理想假定是一个主理想环，并且证明是和的一个最大公因子，因此和的何最大公因子都可写成以下形式：证由于有 是的公因子 仍由知故有 设是的任一公因
4、子由知即是的最大公因子又（单位） 一个主理想环的每一个最大理想都是由一个元素所生成的。证设是主理想环的最大理想， 并设若是单位，则若不是素元则， 是的真因子最大理想是单位，矛盾。我们看两个主理想环和是的子环，假定和是的两个元，是这两个元在里的一个最大公因子。证明：也是这两个元在里的一个最大公因子。证是主理想环的子环，所以在里由本节习题知 是的最大公因子，而且最大公因子有以下形式： 也是在里的公因子。设是在里任意公因子则那么 故是在里的最大公因子。4 欧氏环 1. 证明:一个域一定是一个欧氏环. 证 设是域,则一定是整环 是某一个固定的整数,这符合条件（） ）对的任何元都有 这里 2. 我们看有
5、理数域上的一元多项式环理想等于怎样的一个主理想? 证 我们说 互素 即 因而 3. 证明由所有复数是整数) 所作成的环是一个欧氏环 取() 证 整数 令 设 则 任取 整数 其中 故 是有理数 取 是有理数,且满足条件 令 则 因为的实部与虚部系数均为整数,所以的实部与虚部系数亦均为整数 设 即注意:取 使 的整数 是可以做到的例如只要取 或即可使5 多项式环的因子分解1. 假定!是一个唯一分解环,是的商域,证明,的一个多项式若是在里可约,它在里已经可约. 证 若在里不可约,令 是本原多项式显然, 在里也不可约,由引理3在里不可约,这与在里可约的假设矛盾.2. 假定是整环上的一元多项式环.!属于但不属于,并且的最高系数是的一个单位,证明在里有分解. 证 的最高系数是的单位,所以的系数的最大公因子是单位,也就是说是本原多项式. 而即次数根据本节引理4证明的前一部分在里有分解。6 因子分解与多项式的根 1. 假定是模16的剩余类环,的多项式在里有多少个根? 证 在里的所有根是 这里因为是的根,则需 2. 假定是模3的剩余类环,我们看的多项式证明,不管是的哪一个元. 证 不管是的 或!均使 3. 证明本节的导数计算规则 证 ) = + 故有 （） 现在证明 用数学归纳法证 时,利用（）使 有 假设时 看的情形 = 故有()
