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1、 勾股定理证明證证明一 圖一图一 在圖一中， D ABC 為一直角三角形，其中 A 為直角。在图一中， D ABC 为一直角三角形，其中 A 为直角。 我們在邊 AB 、 BC 和 AC 之上分別畫上三個正方形 ABFG 、 BCED 和 ACKH 。 我们在边 AB 、 BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG 、 BCED 和 ACKH 。 過 A 點畫一直線 AL 使其垂直於 DE 並交 DE 於 L ，交 BC 於 M 。 过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE 并交 DE 于 L ，交 BC 于 M 。 不難證明， D FBC 全等於 D ABD （ SAS ）。 不难证
2、明， D FBC 全等于 D ABD （ SAS ）。 所以正方形 ABFG 的面積 = 2 D FBC 的面積 = 2 D ABD 的面積 = 長方形 BMLD 的面積。 所以正方形 ABFG 的面积 = 2 D FBC 的面积 = 2 D ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积。 類似地，正方形 ACKH 的面積 = 長方形 MCEL 的面積。 类似地，正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积。 即正方形 BCED 的面積 = 正方形 ABFG 的面積 + 正方形 ACKH 的面積，亦即是 AB 2 + AC 2 = BC 2 。 即正方形 BCED 的面积 = 正方形
3、 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积，亦即是 AB 2 + AC 2 = BC 2 。 由此證實了勾股定理。 由此证实了勾股定理。 這個證明巧妙地運用了全等三角形和三角形面積與長方形面積的關係來進行。这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。 不單如此，它更具體地解釋了，兩條直角邊邊長平方之和的幾何意義，這就是以ML 將正方形分成 BMLD 和 MCEL 的兩個部分！不单如此，它更具体地解释了，两条直角边边长平方之和的几何意义，这就是以ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分！ 這個證明的另一個重要意義，是在於它的出處這個證明是出自古希臘大數
4、學歐幾里得之歐幾里得（ Euclid of Alexandria ）約生於公元前 325 年，卒於約公元前 265 年證证明二圖图二 圖二中，我們將4 個大小相同的直角三角形放在一個大正方形之內，留意大正方形中間的淺黃色部分，亦都是一個正方形。图二中，我们将4 个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。 設直角三角形的斜邊長度為 c ，其餘兩邊的長度為 a 和 b ，則由於大正方形的面積應該等於 4 個直角三角形和中間淺黃色正方形的面積之和，所以我們有 设直角三角形的斜边长度为 c ，其余两边的长度为 a 和 b ，则由于大正方形的面积应该等于
5、 4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有 ( a + b ) 2 ( a + b ) 2 = = 4(1/2 ab ) + c 2 4(1/2 ab ) + c 2 展開得 展开得 a 2 + 2 ab + b 2 a 2 + 2 ab + b 2 = = 2 ab + c 2 2 ab + c 2 化簡得 化简得 a 2 + b 2 a 2 + b 2 = = c 2 c 2 由此得知勾股定理成立。由此得知勾股定理成立。 證明二可以算是一個非常直接了當的證明。证明二可以算是一个非常直接了当的证明。 最有趣的是，如果我們將圖中的直角三角形翻轉，拼成以下的圖三，我們依然可以利用
6、相類似的手法去證明勾股定理，方法如下：最有趣的是，如果我们将图中的直角三角形翻转，拼成以下的图三，我们依然可以利用相类似的手法去证明勾股定理，方法如下： 圖三 图三 由面積計算可得 由面积计算可得 c 2 c 2 = = 4(1/2 ab ) + ( b - a ) 2 4(1/2 ab ) + ( b - a ) 2 展開得 展开得 = = 2 ab + b 2 - 2 ab + a 2 2 ab + b 2 - 2 ab + a 2 化簡得 化简得 c 2 c 2 = = a 2 + b 2 （定理得證） a 2 + b 2 （定理得证） 圖三的另一個重要意義是，這證明最先是由一個中國人提
7、出證证明三 圖四 图四 圖四一共畫出了兩個綠色的全等的直角三角形和一個淺黃色的等腰直角三角形。图四一共画出了两个绿色的全等的直角三角形和一个浅黄色的等腰直角三角形。 不難看出，整個圖就變成一個梯形。不难看出，整个图就变成一个梯形。 利用梯形面積公式，我們得到利用梯形面积公式，我们得到 1/2( a + b )( b + a ) 1/2( a + b )( b + a ) = = 2(1/2 ab ) + 1/2 c 2 2(1/2 ab ) + 1/2 c 2 展開得 展开得 1/2 a 2 + ab + 1/2 b 2 1/2 a 2 + ab + 1/2 b 2 = = ab + 1/2
8、c 2 ab + 1/2 c 2 化簡得 化简得 a 2 + b 2 a 2 + b 2 = = c 2 （定理得證） c 2 （定理得证） 證明证明四 (a) (a) (b) (b) (c) (c) 圖五图五 證明四是這樣做的：如圖五(a) ，我們先畫一個直角三角形，然後在最短的直角邊旁向三角形那一邊加上一個正方形，為了清楚起見，以紅色表示。证明四是这样做的：如图五(a) ，我们先画一个直角三角形，然后在最短的直角边旁向三角形那一边加上一个正方形，为了清楚起见，以红色表示。 又在另一條直角邊下面加上另一個正方形，以藍色表示。 又在另一条直角边下面加上另一个正方形，以蓝色表示。 接著，以斜邊的
9、長度畫一個正方形，如圖五 (b) 。 接着，以斜边的长度画一个正方形，如图五 (b) 。 我們打算證明紅色和藍色兩個正方形面積之和，剛好等於以斜邊畫出來的正方形面積。 我们打算证明红色和蓝色两个正方形面积之和，刚好等于以斜边画出来的正方形面积。 留意在圖五(b) 中，當加入斜邊的正方形後，紅色和藍色有部分的地方超出了斜邊正方形的範圍。留意在图五(b) 中，当加入斜边的正方形后，红色和蓝色有部分的地方超出了斜边正方形的范围。 現在我將超出範圍的部分分別以黃色、紫色和綠色表示出來。 现在我将超出范围的部分分别以黄色、紫色和绿色表示出来。 同時，在斜邊正方形內，卻有一些部分未曾填上顏色。 同时，在斜
10、边正方形内，却有一些部分未曾填上颜色。 現在依照圖五 (c) 的方法，將超出範圍的三角形，移入未有填色的地方。 现在依照图五 (c) 的方法，将超出范围的三角形，移入未有填色的地方。 我們發現，超出範圍的部分剛好填滿未曾填色的地方！ 我们发现，超出范围的部分刚好填满未曾填色的地方！ 由此我們發現，圖五 (a) 中，紅色和藍色兩部分面積之和，必定等於圖五 (c) 中斜邊正方形的面積。 由此我们发现，图五 (a) 中，红色和蓝色两部分面积之和，必定等于图五 (c) 中斜边正方形的面积。 由此，我們就證實了勾股定理。 由此，我们就证实了勾股定理。 圖六图六 圖七图七 證明证明五 (a) (a) (b
11、) (b) 圖八图八 圖八(a) 和圖二一樣，都是在一個大正方形中，放置了 4 個直角三角形。图八(a) 和图二一样，都是在一个大正方形中，放置了 4 个直角三角形。 留意圖中淺黃色部分的面積等於 c 2 。 留意图中浅黄色部分的面积等于 c 2 。 現在我們將圖八 (a) 中的 4 個直角三角形移位，成為圖八 (b) 。 现在我们将图八 (a) 中的 4 个直角三角形移位，成为图八 (b) 。 明顯，圖八 (b) 中兩個淺黃色正方形的面積之和應該是 a 2 + b 2 。 明显，图八 (b) 中两个浅黄色正方形的面积之和应该是 a 2 + b 2 。 但由於 (a) 、 (b) 兩圖中的大正
12、方形不變， 4 個直角三角形亦相等，所以餘下兩個淺黃色部的面積亦應該相等，因此我們就得到 a 2 + b 2 = c 2 ，亦即是證明了勾股定理。 但由于 (a) 、 (b) 两图中的大正方形不变， 4 个直角三角形亦相等，所以余下两个浅黄色部的面积亦应该相等，因此我们就得到 a 2 + b 2 = c 2 ，亦即是证明了勾股定理。 (a) (a) (b) (b) 圖九图九 圖九(a) 中間的淺黃色部分是一個平行四邊形，它的面積可以用以下算式求得： mn sin( a + b ) ，其中 m 和 n 分別是兩個直角三角形斜邊的長度。图九(a) 中间的浅黄色部分是一个平行四边形，它的面积可以用以
13、下算式求得： mn sin( a + b ) ，其中 m 和 n 分别是两个直角三角形斜边的长度。 而圖九 (b) 中的淺黃色部分是兩個長方形，其面積之和是： ( m cos a )( n sin b ) + ( m sin a )( n cos b ) 。 而图九 (b) 中的浅黄色部分是两个长方形，其面积之和是： ( m cos a )( n sin b ) + ( m sin a )( n cos b ) 。 正如上面一樣， (a) 、 (b) 兩圖淺黃色部分的面積是相等的，所以將兩式結合並消去共有的倍數，我們得： sin( a + b ) = sin a cos b + sin b c
14、os a ，這就是三角學中最重要的複角公式！ 正如上面一样， (a) 、 (b) 两图浅黄色部分的面积是相等的，所以将两式结合并消去共有的倍数，我们得： sin( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a ，这就是三角学中最重要的复角公式！ 原來勾股定理和這條複角公式是來自相同的證明的！ 在證明二中，當介紹完展開( a + b ) 2 的方法之後，我提出了趙爽的弦圖，這是一個展開 ( a - b ) 2 的方法。(a) (a) (b) (b) 圖十图十 證明六 证明六 圖十一图十一 圖十一中， 我們將中間的直角三角形 ABC 以 CD 分成兩部分，其中 C 為直角
15、， D 位於 AB 之上並且 CD AB 。图十一中， 我们将中间的直角三角形 ABC 以 CD 分成两部分，其中 C 为直角， D 位于 AB 之上并且 CD AB 。 設 a = CB ， b = AC ， c = AB ， x = BD ， y = AD 。 设 a = CB ， b = AC ， c = AB ， x = BD ， y = AD 。 留意圖中的三個三角形都是互相相似的，並且 D DBC D CBA D DCA ，所以 留意图中的三个三角形都是互相相似的，并且 D DBC D CBA D DCA ，所以 = = 和和 = = 由此得由此得 a 2 a 2 = = cx cx 和和 b 2 b 2 = = cy cy 將兩式結合，得a 2 + b 2 = cx + cy = c ( x + y ) = c 2 。将两式结合，得a 2 + b 2 = cx + cy = c ( x + y ) = c 2 。 定理得證。 定理得证。 可是，如果大家細心地想想，又會發現這個證明其實和證明一（即歐幾里得的證明）沒有分別！證明七 证明七 (a) (a) (b) (b) (c) (c) 圖十二
