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1、高中数学第二讲直线与圆的位置关系五与圆有关的比例线段学案新人教A版选修4-1五与圆有关的比例线段1掌握相交弦定理及其应用2掌握割线定理、切割线定理及其应用3掌握切线长定理及其应用1相交弦定理文字语言圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的_相等符号语言O的两条弦AB和CD相交于P，则PAPB_图形语言作用证明线段成比例由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项该推论又称为垂径定理【做一做1】如图，O的两条弦AB与CD相交于点E，EC1，DE4，AE2，则BE等于()A1B2C3 D42割线定理文字语言从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线
2、与圆的交点的两条线段长的_相等符号语言从O外一点P引圆的两条割线PAB和PCD，则PAPB_图形语言作用证明线段成比例【做一做2】如图，P是O外一点，PC4，PD2，则PAPB等于()A2 B4C8 D不确定3切割线定理文字语言从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的_符号语言从O外一点P引圆的切线PA和割线PBC，A是切点，则PA2_图形语言作用证明线段成比例相交弦定理、割线定理和切割线定理(割线定理的推论)统称为圆幂定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分(内分或外分)成两线段长的积相等(至于切线可看作是两条交
3、点重合的割线)两条线段的长的积是常数PAPB|R2d2|，其中d为定点P到圆心O的距离若P在圆内，dR，则该常数为R2d2；若P在圆上，dR，则该常数为0；若P在圆外，dR，则该常数为d2R2.使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点【做一做3】如图，P是O外一点，PA与O相切于点A，过点P的直线l交O于B，C，且PB4，PC9，则PA等于()A4 B6 C9 D364切线长定理文字语言从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_，圆心和这一点的连线_两条切线的夹角符号语言PA，PB分别与O相切于点A，B，则PA_，OPA_图形语言作用证明角相等，线段相等【做一做4】如图，PA
4、，PB分别为O的切线，切点分别为A，B，P80，则C_.答案：1积PCPD【做一做1】BAEEBDEEC，2EB41.EB2.2积PCPD【做一做2】CPAPBPCPD，PAPB428.3比例中项PBPC【做一做3】BPA2PBPC4936，PA6.4相等平分PBOPB【做一做4】50PA，PB分别为O的切线，PAPB.又P80，PABPBA50.ACBPAB50.1与圆有关的比例线段问题剖析：与圆有关的比例线段问题，主要是圆与相似形的综合，其解法大致可分以下几种：(1)直接由相似形得到，即先由已知条件证得两个三角形相似，从而直接得到有关对应线段成比例这是简单型的比例线段问题(2)利用“等线段
5、”代换得到，在证明“等积式”形如a2bc时，如果其中有三条线段共线，那么一般往往把平方项线段用“等线段”进行代换(3)利用“中间积”代换得到，在证明“等积式”形如a2bc时，如果其中有三条线段共线，不妨可以把平方项线段利用中间积进行代换试试(4)利用“中间比”代换得到，在证明比例线段(不论共线与否)，如果不能直接运用有关定理，不妨就寻找“中间比”进行代换试试与圆有关的比例线段证明要诀：圆幂定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效2垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间的关系剖析：如图，PA
6、，PB为O的两条切线，A，B为切点，PCD为过圆心O的割线，连接AB，交PD于点E，则有下列结论：(1)PA2PB2PCPDPEPO；(2)AE2BE2DECEOEPE；(3)若AC平分BAP，则C为PAB的内心；(4)OA2OC2OEOPOD2；(5)，PDAB；(6)AOPBOP，APDBPD题型一 相交弦定理的应用【例题1】如图，过O内一点A作直线，交O于B，C两点，且ABAC64，OA10，则O的半径r_.反思：相交弦定理的结论是线段成比例，也可以看成等式，因此利用相交弦定理既可以得到成比例线段，又可以建立方程来解决问题，如本题中，利用相交弦定理列出关于r的方程题型二 割线定理的应用【
7、例题2】如图，已知O的割线PAB交O于A点和B点，PA6 cm，AB8 cm，PO10.9 cm，求O的半径分析：由于PO既不是O的切线，也不是割线，故需将PO延长交O于D，构成圆的一条割线，而OD又恰好是O的半径，于是运用割线定理解题即可反思：如果已知条件中出现过圆外同一点的圆的割线，那么常用到割线定理本题中，利用割线定理列出了关于半径r的方程，进而求出了r的值题型三 切割线定理的应用【例题3】如图，AB切O于B，ACD为割线，E为的中点，BE交DC于F，求证：AF2ACAD分析：由切割线定理可知ACADAB2，故只需证AFAB即可反思：如果已知条件中同时出现过圆外同一点的切线和割线，那么常
8、用到切割线定理题型四 切线长定理的应用【例题4】如图，AB是O的直径，C是O上一点，过点C的切线与过A，B两点的切线分别交于点E，F，AF与BE交于点P.求证：EPCEBF.分析：反思：如果已知条件中出现过圆外同一点的切线，那么常用到切线长定理要注意分析其中的等量关系，即切线长相等，圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合直角三角形、相似三角形等图形的有关性质进行计算与证明答案：【例题1】2如图所示，作直线OA交O于E，F两点，则AEr10，AFr10.由相交弦定理，得(r10)(r10)64，解得r12，r22(不合题意，舍去)故r2.【例题2】解：如图，将PO延长交O于D.根据割线定
9、理，可得PAPBPCPD.设O的半径为r cm，则6(6+8)(10.9r)(10.9+r)，解得r5.9，即O的半径为5.9 cm.【例题3】证明：如图，连接BC，BD，E为的中点，DBECBE.又AB是O的切线，ABCCDB.ABC+CBEDBE+CDB，ABFAFB.ABAF.又AB是O的切线，ACD为割线，由切割线定理，可知ACADAB2，AF2ACAD.【例题4】证明：EA，EF，FB是O的切线，EAEC，FCFB.EA，FB切O于A，B，AB是直径，EAAB，FBAB.EAFB.，CPFB.EPCEBF.1圆内两弦相交，其中一条弦长为8 cm，且被交点平分，另一条被交点分为14的两
10、部分，则这条弦长为()A2 cm B8 cm C10 cm D16 cm2(2011北京海淀一模)如图，A，B，C是O上的三点，BE切O于点B，D是CE与O的交点若BAC70，则CBE_；若BE2，CE4，则CD_.3如图，AB是O的直径，PB，PE分别切O于点B，C，若ACE40，则P_.4(2011北京西城一模)如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA2，PC4，圆心O到BC的距离为，则圆O的半径为_5如图，已知P为O外一点，OP与O交于点A，割线PBC与O交于点B，C，且PBBC如果OA7，PA2，求PC的长答案：1C设所求弦长为5k cm，则由相交弦定理得42k4k，
11、则k2(2舍去)，故所求弦长为5k5210(cm)2703由于BE是O的切线，则CBEBAC70.由切割线定理，知EB2EDEC.又BE2，CE4，则ED1.所以CDCEED3.380如图所示，连接BC，AB是O的直径，ACB90.又ACE40，PCB180ACBACE50.又PBPC，PBC50.在PBC中，P180505080.42如图所示，取BC的中点D，连接OD和OB，则ODBC.已知OD，则BC2BD22.由于PA是圆O的切线，所以PA2PBPC.又PA2，PC4，所以PB2.则BCPCPB2.所以22，解得OB2，即圆O的半径为2.5解：如图，延长PO交O于E，则PAPEPBPC.设PCx，又PBBC，PBx.又PEPAAEPA2AO16，216xx，解得x8.又x0，x8.PC8.1
