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1、自主学习01 教材内容笫十章 电磁场中的带电粒子知识框架 重点难点 第一节 第二节 第三节 第四节本章习题 本章自测 知识框架教学目标掌握电磁场中电子的薛定谔方程, 并能就应用于解释一些基本的实验现象如量子霍尔效应、阿哈罗诺夫玻姆（AB）效应、超导现象等。电磁场场中的带电粒子带电粒子与电磁场的耦合阿哈罗诺夫玻姆（AB）效应超导现象朗道能级与量子霍尔效应电子在均匀磁场中的运动朗道能级电子在正交均匀磁场和电场中的二维运动朗道能带霍尔效应及量子霍尔效应基本实验事实唯象描述对超导现象的解释规范不变性定域的几率守恒与流密度重点难点 掌握电磁场中电子的薛定谔方程,电磁场的规范不变性。10.1带电粒子与电磁
2、场的耦合本节要求本节使学生掌握带电粒子在电磁场中的薛定谔方程，并讨论了两类动量的关系。重点难点 明确理解带电粒子在电磁场中的薛定谔方程，在规范变化下，定域几率守恒，几率流密度守恒的不变性。本节内容考虑质量为m,荷电q的粒子在电磁场中的运动.在经典力学中,其拉格朗日（Lagrangian）量为 (1)把式(1)代入拉氏方程 (2)可得牛顿方程 (3)式中电场强度和磁感应强度为 (4)粒子的正则动量定义为 (5)哈密顿量为 (6)注意在这种情况下,正则动量不同于机械动量,二者之间的关系为.有了哈密顿量后,可把力学运动方程表为正则方程 (7)反过来,由此正则方程(7), 也可得牛顿方程(3).按照量
3、子力学的正则量子化程序,把正则动量换成算符,即 (8)则电磁场中荷电q的粒子的哈密顿算符表示为 (9)因而电磁场中荷电粒子的薛定谔方程为 (10)注意一般而言,与不对易,这是因为对任态波函数,有即有 (11)因而在薛定谔方程(9)中不能随意地将与交换次序. 方程(10) 中出现项, 而不是或,因为前者是所谓的Wely顺序, 它是厄米的, 而后者是非厄米的.1. 规范不变性电磁场的规范不变性是指,如,作下列规范变换 (12)电场强度和磁感应强度都不改变.在这种规范变换下经典牛顿方程中只出现和,因而其规范不变性是显然的.下面可证,尽管在薛定谔方程中出现和,但仍然具有规范不变性.假设用表示和势的哈密
4、顿算符,则相应的薛定谔方程成为 (13)若与只相差一个相因子,则规范变换并不改变物理量,因为在物理量的计算中,只有形如的积分或者矩阵元出现,位相因子相消,并不在其中出现.可以证明,设定 (14)并将其代入的薛定谔方程,可以得出的薛定谔方程.换言之,即使规范变换之后,的薛定谔方程的解仍然描述同样的物理状态,与只相差一个唯一的相因子,而物理观察量不受此相因子的影响.容易证明,并非正则动量,而是真正的运动动量才是可测量的量.这是因为的平均值不是规范不变的,而的平均值才是规范不变的.因此,在电磁场存在时,是将正则动量换成算符，而不是换真正的动量，这是确保规范不变性的唯一作法.2. 定域的几率守恒与流密
5、度取式(10) 的复共扼, 注意,为实函数, 而,得 (15),得即 (16)式中 (17)令 (18)式(17) 中可进一步化为 (19)这里可理解为粒子的速度算符, 而为几率流密度.思考题1. 证明在规范变换下,正则动量算符不变, 但其平均值随规范而异, 而机械动量算符正好相反.2. 证明在规范变换下,几率密度和几率流密度都不变. 3.证明:(a) 即;(b) ;(c) 在只有磁场的情况下, 哈密顿算符可写成,且.10.2朗道能级与量子霍尔效应本节要求 本节使学生掌握电子在均匀磁场作用下运动的规律，导体或半导体产生霍尔效应及量子霍尔效应的概况。重点难点 了解朗道能级的引入和朗道能级简并度的
6、讨论。本节内容10.2.1. 电子在均匀磁场中的运动朗道能级考虑质量、荷电-e的电子在垂直于均匀磁场的平面内运动.选择z轴沿均匀磁场方向,即.显然,由不能唯一地决定矢量势.对目前的计算,很方便的一种可能的表示为 (1)荷电粒子的哈密顿算符为 (2)式中 (3)称为拉莫尔频率,的线性项表示电子的轨道磁矩与外磁场的作用,而项为反磁项.由于粒子沿z轴方向自由运动, 因此采用柱坐标系,的本征方程为 (4)式中是二维拉普拉斯算符 (5)粒子的能量本征态可取为守恒量完全集的共同本征态,即, (6)代入方程(4),可求出径向方程 (7)令, (8)则上式化为 (9)显然,为方程的奇点,其中是方程的二阶正则极
7、点.首先求奇点邻域方程(9)的渐近解.当时,方程(9) 的渐近形式为 (10)令,代入上式,得从而 (11)渐近解是物理上不允许的,应抛弃.只有与相应的渐近解才是物理上允许的.当时,方程(9) 的渐近形式为 (12)其解为,其中满足束缚态边界条件的解只能是.这样,让方程(9) 的解具有形式 (13)代入方程(9) ,得 (14)再令 (15)得 (16)这正是合流超几何方程.相应的参数为, (17)要求, (18)将式(9) 代入上式,得 (19)忽略z方向运动()之后, 能量是量子化的.相应的能量本征函数为 (20)式中为归一化系数. (21)容易看出, 所有的态所对应的能量都相同, 因而能
8、级简并度为. 朗道能级的简并度还与规范选择无关.下面考察朗道规范 (22)此规范与式(1) 相比, 相当于作了一规范变换, 即 (23)在此规范下,电子的哈密顿算符为 (24)的本征函数是的共同本征态 (25)其中满足 (26)令 (27)式(26) 可化为 (28)上式描述的是一个平衡点在点的一维谐振子, 其本征值为与式(19) 一致, 相应本征函数为 (29)它依赖于n和,可以取中一切实数值, 但能级不依赖于,因而能级为无穷度简并. 当然, 这是电子只受磁场作用, 而无其它限制的情况. 如果电子局限在xy平面上有限区域面积S中运动, 其能级的简并度又如何呢? 不妨假设电子在x方向被限制在的
9、范围内运动, 则的本征值不再是连续的, 而是取分立值 (30)平衡位置也取分立值 (31)两相邻平衡位置的间距为 (32)若电子在y方向被限制在的范围内运动, 由于边界条件改变了, 能量的本征值与本征函数也将发生改变, 但对y方向的长度 (33)这里是经典振子的运动范围, 可由振子总能量等于势能的条件得出, 那些离边界有n个的运动状态, 可以忽略边界的影响, 仍采用式(29) 和(30) 作为近似解. 此时y有界必导致只能取有限个数值, 其个数可近似为 (34)式中S=ab为xy平面上电子运动范围的面积.可取值的个数, 就是能级的简并度.10.2.2 电子在正交均匀磁场和电场中的二维运动朗道能
10、带现讨论荷电粒子在均匀电场及均匀磁场作用下的二维运动. 令坐标原点处的标势,则标势和矢势可选取为 (35)体系的哈密顿算符为 (36)的本征函数可取为守恒量完全集的共同本征态, 即 (37)将上式代入式(37) 的本征方程, 可得 (38)式中 (39)方程(38) 与式(28) 形式上完全相同, 只不过谐振子的平衡位置从变成了.能量本征值为 (40)相应能量本征函数为 (41)在时, 能级(41) 的简并度由式(36) 给出, 等于可取值的个数, 那么当时, 由式(41) 可见, 每条朗道能级分裂为个分立能级, 构成一条能带, 称为朗道能带.10.2.3 霍尔效应及量子霍尔效应导体或半导体在纵向电场()和横向磁场()的作用下, 在垂直于它们的方向()上样品侧面出现异号电荷的堆积, 从而在该方向形成电压的现象, 称为霍尔效应. 它是美国约翰霍普金斯(John Hopkings) 大学的学生霍尔(Edwin Hall)于1879年把通电的金箔放入均匀磁场中研究电子输运性质时发现的. 如图10.2.1所示, 在与之间形成霍尔电压VH ，它与外电流I和外电场B成正比, 与样品厚度成反比, 即 (42)其中KH为霍尔系数.霍尔电压的出现容易用
