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1、2019届高考数学复习资料第2讲数列的求和及综合应用高考定位1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.真 题 感 悟1.(2017全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和.解(1)因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)，得(2n1)an2，所以an，又n1时，a12适合上式，从而an的通项公式为an.(2)记的前n项和为Sn，由(1)知，则Sn1.2.(2017山东卷)
2、已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a26，a1a2a3.(1)求数列an的通项公式；(2)bn为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n1bnbn1，求数列的前n项和Tn.解(1)设an的公比为q，由题意知a1(1q)6，aqa1q2，又an0，解得a12，q2，所以an2n.(2)由题意知：S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，则cn，因此Tnc1c2cn，又Tn，两式相减得Tn，所以Tn5.考 点 整 合1.数列求和(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分
3、，分别求和，然后再合并.(2)错位相减法：主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中an是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.温馨提醒(1)裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.(2)an忽略n2的限定，忘记第一项单独求解与检验.2.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数
4、的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.热点一数列的求和问题命题角度1分组转化求和【例11】 (2017郑州质检)已知数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和.解(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.而a1也满足ann，故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n).记A212222n，B12342n，则A22n12，B(12)(3
5、4)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.探究提高1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.命题角度2裂项相消法求和【例12】 (2015全国卷)Sn为数列an的前n项和.已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和.解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.两式相减可得aa2(an1an)4
6、an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an).由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)，a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn .探究提高1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.【训练1】 (2017昆明诊断)已知等比数列an的各项均为正数，且a12a25，4aa2a6.(1)求数列an
7、的通项公式；(2)若数列bn满足b12，且bn1bnan，求数列bn的通项公式；(3)设cn，求数列cn的前n项和为Tn.解(1)设等比数列an的公比为q，由4aa2a6得4aa所以q24，由条件可知q0，故q2，由a12a25得a12a1q5，所以a11，故数列an的通项公式为an2n1.(2)由bn1bnan得bn1bn2n1，故b2b120，b3b221，bnbn12n2，以上n1个等式相加得bnb11212n22n11，由b12，所以bn2n11.(3)cn，所以Tnc1c2cn.命题角度3错位相减求和【例13】 (2017天津卷)已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，bn是首
8、项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通项公式；(2)求数列a2nbn的前n项和(nN*).解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60，又因为q0，解得q2，所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18，由S1111b4，可得a15d16，联立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以an的通项公式为an3n2，bn的通项公式为bn2n.(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn，由a2n6n2，bn2n，有Tn 4210221623(6n2)2n，2T
9、n42210231624(6n8)2n(6n2)2n1，上述两式相减，得Tn4262262362n(6n2)2n1，4(6n2)2n1(3n4)2n216.所以Tn(3n4)2n216.所以数列a2nbn的前n项和为(3n4)2n216.探究提高1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解.2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“SnqSn”的表达式.【训练2】 (2017衡阳模拟)已知等差数列an满足：an1an(nN*)，a11，该
10、数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，且an2log2bn1.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Tn.解(1)设d为等差数列an的公差，且d0，由a11，a21d，a312d，分别加上1，1，3成等比数列，得(2d)22(42d)，因为d0，所以d2，所以an1(n1)22n1，又因为an12log2bn，所以log2bnn即bn.(2)Tn，Tn，得Tn221.所以Tn3.热点二an与Sn的关系问题【例2】 (2017济南模拟)设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an5Sn1成立，bn1log2|an|，数列bn的前n项和为Tn，cn.(1)
11、求数列an的通项公式；(2)求数列cn的前n项和An，并求出An的最值.解(1)因为an5Sn1，nN*，所以an15Sn11，两式相减，得an1an，又当n1时，a15a11，知a1，所以数列an是公比、首项均为的等比数列.所以数列an的通项公式an.(2)bn1log2|an|2n1，数列bn的前n项和Tnn2，cn，所以An1.因此An是单调递增数列，当n1时，An有最小值A11；An没有最大值.探究提高1.给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.2.形如
12、an1panq(p1，q0)，可构造一个新的等比数列.【训练3】 (2017梅州质检)设数列an的前n项和为Sn，且Sn2，bn为等差数列，且a1b1，a2(b2b1)a1.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)当n1时，a1S11.当n2时，anSnSn1，此式对n1也成立，an(nN*)，从而b1a11，b2b12.又因为bn为等差数列，公差d2，bn1(n1)22n1.(2)由(1)可知cn(2n1)2n1，所以Tn1132522(2n1)2n1，2Tn12322523(2n3)2n1(2n1)2n，得：Tn12(2222n1)(2n1)2n1(2n1)2n12n14(2n1)2n3(2n3)2nTn3(2n3)2n.热点三数列与函数、不等式的综合问题【例3】 (2017惠州三调)在数列an中，点(an，an1)在直线yx2上，且首项a11.(1)求数列an的通项公式；(2)数列an的前n项和为Sn，等比数列bn中，b1a1，b2a2，数列bn的前n项和为Tn，请写出适合条件TnSn的所有n的值.解(1)点(an，an1)在直线yx2上，且a11.an1an2则an1an2，因此数列an是公差为2，首项为1的等差数列.a
