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1、2016届高三数学33个黄金考点总动员【考点剖析】1.最新考试说明：1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)4.会利用导数解决某些实际问题.2.命题方向预测：1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点2.选择题、填空题侧重于利1用导数确定函数的单调性和极值解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题.3.利用导数研究函
2、数的最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的考点且每年必考！3.课本结论总结：1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在
3、a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值4利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x
4、)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答5不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题4.名师二级结论：1.f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件2.函数在某区间上或定义域内极大值不是唯一的3.函数的极大值不一定比极小值大4.对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的既不充分也不必要条件5.函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值6.可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x0一定满足f(x0)0，但当
5、f(x1)0时，x1不一定是极值点如f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点(2)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同7函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值8求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 5.课本经典习题：（1）选修21第77
6、页抛物线上到直线的距离最小点的坐标是（ ）A B C D解 设则 设距离最小点的坐标为，所以。得到，选B【经典理由】在解析几何中，一些最值问题（如弦长、面积、距离等）常可用导数工具轻松的解决。（2） 必修4第114页例7证明：证明 设则所以（c为常数） 因为，所以。故上式成立【经典理由】证明三角恒等问题，即证明对任意x等式恒成立，可将等式中各项全移到一边，只要证明这一边的导数为零即可。（3） 选修2-2第12页第6题证明：当时，证明令，则因为所以得到即，故上式成立【经典理由】在证明不等式时，可根据不等式特点构造函数，用导数判断单调性，利用函数单调性证明不等式，求出函数的最值，由该函数在取得最值
7、时该不等式成立，可得该不等式成立。（4）必修5第39页求和：解：设由等比数列前n项和公式得因为所以而所以【经典理由】要借助导数解决数列问题，关键是构建合理的函数，借助函数的性质考查数列的性质，数列是特殊的函数。故对数列中如求数列的最值项，前n项和的最值，恒成立问题，若用函数思想来解决，往往会收到意想不到的效果。6.考点交汇展示：(1)导数与三角函数交汇例1.已知函数的导函数如图所示,若为锐角三角形,则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D. 的导函数图像可得到在区间上是单调递减的,所以,故选D.考点：导函数 单调性 锐角三角形例2.【2015高考安徽，理21】设函数. （）讨论函数在
8、内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （）记，求函数在上的最大值D； （）在（）中，取，求满足时的最大值.【答案】（）极小值为；（）； （）1. 由此可知，函数在上的最大值为.（），即，此时，从而.取，则，并且.由此可知，满足条件的最大值为1.【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.【名师点睛】函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意
9、数学思想方法的应用.(2)导数与数列交汇例1【2015高考湖南，理21】.已知，函数，记为的从小到大的第个极值点，证明：（1）数列是等比数列（2）若，则对一切，恒成立.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【考点定位】1.三角函数的性质；2.导数的运用；3.恒成立问题.【名师点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的
10、简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.(3)导数与圆锥曲线交汇例1.已知抛物线y=x2+2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程【考点分类】热点1 利用导数研究函数的单调性1. 【2015高考江苏，19】（本小题满分16分） 已知函数. （1）试讨论的单调性； （2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是，求c的值.【答案】（1）当时， 在上单调递增；当时， 在，上单调递增，在上单调递减
11、；当时， 在，上单调递增，在上单调递减（2）设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是，则在上，且在上均恒成立，【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点【名师点晴】求函数的单调区间的步骤：确定函数yf(x)的定义域；求导数yf(x)，令f(x)0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；确定f(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性已知函数的零点个数问题处理方法为：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合
12、求解已知不等式解集求参数方法：利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系.2.【2014高考安徽卷第18题】设函数,其中.（1） 讨论在其定义域上的单调性；（2） 当时，求取得最大值和最小值时的的值.【答案】（1）在和内单调递减，在内单调递增；（2）所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值.【解析】（1）的定义域为，.令，得，所以.当或时；当时，.故在和内单调递减，在内单调递增.（2） 因为，所以.当时，由（1）知，在上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值.当时，.由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，因此在处取得最大值.又，所以当时，在处取
13、得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值.考点：1.含参函数的单调性；2.含参函数的最值求解.3. 【2015高考四川，理21】已知函数，其中.（1）设是的导函数，评论的单调性； （2）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.【答案】（1）当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.（2）详见解析.【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.【方法规律】求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的
14、定义域(2)求f(x)，令f(x)0，求出它们在定义域内的一切实数根(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间(4)确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性【解题技巧】讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于0或小于0的不等式的解集，一般就是归结为一个一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于0的根的情况下，根的大小是分类的标准【易错点睛】（1）注意函数定义域的确定（2）解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点热点2 利用导数研究函数的最值极值1.【2015高考山东，理21】设函数，其中. （）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （）若成立，求的取值范围.【答案】（I）：当 时，函数在上有唯一极值点；当时，函数在上无极值点；当时，函数在上有两个极值点；（II）的取值范围是.当 时，
