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1、重要不等式应用江苏省兴化中学 成开华一、几个重要不等式。 1.平均不等式:若为正实数,且,定义如下四个平均值: (算术平均数),几何平均数)(平方平均数),(调和平均数), 四个平均数有如下关系:,当且仅当时取等号.2.柯西(cauchy)不等式: 已知均为实数,则当且仅当时,不等式中等号成立,若其中柯西(cauchy)不等式常见的变形形式:(1)设同号,则,当且仅当时取等号,(2)若为实数,为正实数(),则当且仅当时取等号(3) 已知均为正实数, 则3.排序不等式:设有两个有序实数组:及,则,其中是1,2,3, ,的一个排列. 当且仅当或时取等号.4.切比雪夫不等式: 设有两个有序实数组:及
2、,则,当且仅当或时取等号.5.Schur不等式：设x, y, z0, r是实数，则 xr(xy)(xz)yr(yx)(yz)zr(zy)(zx)0.变形I x3y3z3(x2yxy2x2zxz2y2zyz2)3xyz0.简记为x3x2(yz)3xyz0.变形II xyz(xyz)(yzx)(zxy).二.例题选讲1.若正实数满足求证:2.设x，y，z是正数， 且xyz1，证明：(1)(1)(1)64.(1989年南斯拉夫数学奥林匹克试题)3.（1）设a， b0，且abab，证明：.(2011年摩纳哥数学奥林匹克试题)（2）求函数y的最大和最小值.(2009年全国高中数学联赛试题)4.如果且证明
3、：5.已知a,b,c,x,y,z是正实数，且xyz1，证明: axbycz2abc.(2001年乌克兰数学奥林匹克试题)6.设是正数，且证明：7.为正实数，且试证： 8. （1）已知求证：（2）已知求证：9.设x, y, z为非负实数,且xyz1,证明：0yzzxxy2xyz.(第25届IMO试题)10. 设是正数，证明：11.设是实数，求证：12. 已知a，b，c是正数， 则.(Aassila不等式，2000年中国国家集训队试题)13.设a,b,c为正数,证明不等式：2.(1992年波兰奥地利数学奥林匹克试题)不等式的证明方法和技巧江苏省兴化中学 成开华一、常见的不等式证明方法：比较法，综合
4、法，分析法，判别式法，代换法，放缩法，数学归纳法，构造法等等。二、例题选讲1.（1）求证：（2）设是正数，它们的和等于1，证明2.设a，b，c是实数，证明：(a21)(b21)(c21)(abbcca1)2.(2007年印度尼西亚集训队试题)3.若为实数，求证：4.已知a，b，c是正实数，且abc1，证明：1.(2005年中国台湾数学奥林匹克试题)5. 已知a，b，c是正数，且abc1，证明：.6.若0a1，a2，an1，证明:a1a2an(1a1)(1a2)(1an)1.7.已知a，b，c，d是正实数， 求证:.(第52届白俄罗斯数学奥林匹克试题)8. 设0a，b，c1，证明：1.(1981年列宁格勒数学奥林匹克试题)9.(1). 若正数a,b,c满足,求证.(2005年湖南省数学竞赛试题)(2)对x,y,z0, 证明不等式 x(xz)2+y(yz)2(xz)(yz)(x+yz). (1992年加拿大数学奥林匹克试题)10. 设x,y,z为正数, 求证： .(1997年香港数学奥林匹克集训队试题)11. 已知正整数n1， 求证： +.( 2007年江苏省数学竞赛试题)12.设证明:13.（2010年全国联赛加试第三题）给定整数设正实数满足记求证：5
