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1、矩形的折叠问题专题十母母题题 【教教材材P117作作业业题题T5变变式式】如如图图，将将矩矩形形纸纸片片ABCD的的四四个个角角向向内内折折叠叠，恰恰好好拼拼成成一一个个无无缝缝隙隙、无无重重叠叠的的四四边形边形EFGH.(1)求证：四边形求证：四边形EFGH是矩形是矩形；(2)若若EF2，EH4，求，求AD的长的长.【方法点拨】在在折折叠叠问问题题中中，折折叠叠前前后后的的图图形形是是全全等等图图形形，由由此此可可得得线线段段相相等等、角角相相等等，结结合合勾勾股股定定理理等等知知识可求线段长识可求线段长.C【点拨】【变式变式2】如如图，将矩形图，将矩形ABCD沿着直线沿着直线AE折叠，顶点
2、折叠，顶点D恰恰好落在好落在BC边上的点边上的点F处，已知处，已知AB8，CE3，则图中，则图中阴影部分的面积为阴影部分的面积为()A.30 B.60 C.15 D.24A【点拨】【变式变式3】如如图，将一张长方形纸片图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线沿对角线BD折叠折叠后，点后，点C落在点落在点E处，处，BE交交AD于于F，再将三角形，再将三角形DEF沿沿DF折叠后，点折叠后，点E落在点落在点G处，若处，若DG刚好平分刚好平分ADB，那，那么么ADB的度数是的度数是()A.18 B.20C.36 D.45C【点拨】由折叠可知由折叠可知BDCBDE，EDFGDF，DG平分平分ADB，BDGG
3、DF，BDEEDFGDFBDG3GDF，BDCBDE3GDF.ADBGDFBDG2GDF，BDCADB90，3GDF2GDF90，解得解得GDF18，ADB2GDF21836.A【点拨】【变式变式5】如如图，将矩形纸片图，将矩形纸片ABCD折叠，使点折叠，使点D与点与点B重合，重合，点点C落在落在C处，折痕为处，折痕为EF，若，若AB1，BC2，则，则ABE和和BCF的周长之和是的周长之和是()A.5 B.6C.7 D.8B【变式变式6】如如图，在矩形图，在矩形ABCD中，中，AB5，BC4，点，点M为为AD的中点，的中点，N为为AB上一点，连结上一点，连结MN，将，将AMN沿沿MN翻翻折，使
4、点折，使点A落在矩形内落在矩形内A处，则处，则AC的最小值为的最小值为_.【点拨】【变式变式7】如如图，在矩形图，在矩形ABCD中，中，BC10，AB4，点，点E，F分别是分别是BC，AD上的动点，将四边形上的动点，将四边形CDFE沿沿EF折折叠，点叠，点C，D的对应点分别为的对应点分别为C，D，当线段，当线段CD恰好恰好过点过点B，且，且BC3BD时，求时，求AF的长的长.【变式变式8】【2023泰安泰安】如如图，在矩形图，在矩形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于点相交于点O，点，点F是是DC边上的一点，连结边上的一点，连结AF，将，将ADF沿直线沿直线AF折叠，点折叠，点D落在点
5、落在点G处，延长处，延长AG交交DC于点于点H，延，延长长FG交交BC于点于点M，交，交AB的延长线于点的延长线于点E，且，且ACAE.(1)求证：四边形求证：四边形DBEF是平行四边形是平行四边形；证明证明：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ABCD，ADFDAB90，ACBD，由折叠得由折叠得ADGA，AGFADF90，AGE90.ACEA，ACBD，BDEA，RtABDRtGEA(HL)，AEGDBA，BDEF.又又BEDF，四边形四边形DBEF是平行四边形是平行四边形(2)求证：求证：FHME.证明证明：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ABC90，CDAB，MBE180ABC90
6、，HFGMEB.又又FGH180AGF90，FGHMBE.四边形四边形DBEF是平行四边形，是平行四边形，BEDF，由折叠的性质可得由折叠的性质可得GFDF，GFBE，FGHEBM(ASA)，FHME.【变式变式9】【问题背景】【问题背景】在在矩矩形形ABCD中中，点点E,F分分别别是是BC，AD上上的的动动点点，且且BEDF，连连结结EF，将将矩矩形形ABCD沿沿EF折折叠叠，点点C落落在在点点C处处，点点D落在点落在点D处，射线处，射线EC与射线与射线DA相交于点相交于点M.【猜想与证明】【猜想与证明】(1)如图如图，当，当EC与线段与线段AD交于点交于点M时时，判断判断MEF的形状并证明
7、你的结论的形状并证明你的结论；解：解：MEF是等腰三角形是等腰三角形证明如下：证明如下：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ADBC，MFECEF，由折叠可得由折叠可得MEFCEF，MFEMEF，MEMF，MEF是等腰三角形是等腰三角形【操作与画图】【操作与画图】(2)当当点点C与与点点A重重合合时时，请请在在图图中中作作出出此此时时的的折折痕痕EF和和折折叠叠后后的的图图形形(要要求求：尺尺规规作作图图，不不写写作作法法，保保留留作作图图痕痕迹迹，标注相应的字母标注相应的字母)；解：如图所示解：如图所示【操作与探究】【操作与探究】(3)如如图图，当当点点M在在线线段段DA延延长长线线上上时时，线线段段CD分分别别与与AD，AB交交于于P，N两两点点，CE与与AB交交于于点点Q，连连结结MN并并延延长长MN交交EF于点于点O.求证：求证：MOEF且且MO平分平分EF.
