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1、特殊四边形中的动点问题专题十二母母题题 如如图图，ABCD的的对对角角线线AC，BD相相交交于于点点O，BC5，点点P从从点点A出出发发，沿沿AD以以每每秒秒1个个单单位位长长度度的的速速度度向向终终点点D运运动，连结动，连结PO并延长，交并延长，交BC于点于点Q，设点，设点P的运动时间为的运动时间为t秒秒.(1)求求BQ的长的长(用含用含t的代数式表示的代数式表示)；解解：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，OAOC，ADBC.PAOQCO.又又AOPCOQ，APOCQO，APCQ.由题意知由题意知APt，CQt.BC5，BQ5t.(2)当四边形当四边形ABQP是平行四边形时，求
2、是平行四边形时，求t的值的值.【方法点拨】解解特特殊殊四四边边形形中中的的动动点点问问题题时时，关关键键是是抓抓住住运动过程中的不变量进行求解运动过程中的不变量进行求解.【变式变式1】如如图，在等边三角形图，在等边三角形ABC中，中，BC6 cm，射线，射线AGBC，点，点E从点从点A出发沿射线出发沿射线AG以以1 cm/s的速度运动，的速度运动，同时点同时点F从点从点B出发沿射线出发沿射线BC以以2 cm/s的速度运动，设的速度运动，设运动时间为运动时间为 t s.(1)连连结结EF，当当EF经经过过AC边边的的中中点点D时时，求求证证：ADECDF；(2)求求当当t为为何何值值时时，以以A
3、，F，C，E为为顶顶点点的的四四边边形形是平行四边形；是平行四边形；解：根据题意得解：根据题意得AEt cm，BF2t cm，当点当点F在点在点C的左侧时，的左侧时，CFCFBCBF(62t)cm，AGBC，当当AECF时时，四四边边形形AECF是是平平行行四四边边形形，即即t62t，解得，解得t2；当点当点F在点在点C的右侧时，的右侧时，CFBFBC(2t6)cm，AGBC，当当AECF时，四边形时，四边形AEFC是平行四边形是平行四边形，即即t2t6，解得，解得t6.综综上上可可得得：当当t2或或6时时，以以A，F，C，E为为顶顶点点的的四边形是平行四边形四边形是平行四边形求当求当t为何值
4、时，四边形为何值时，四边形ACFE是菱形是菱形.若四边形若四边形ACFE是菱形是菱形，则则AEAC6 cm，则则t616.【变式变式2】如如图，在平面直角坐标系图，在平面直角坐标系xOy中，直线中，直线OC：yOC3x与直线与直线AC：yACx8相交于点相交于点C(2，6).(1)点点M从点从点O出发以每秒出发以每秒1个单位长度的个单位长度的速度速度沿沿x轴向右轴向右运动运动,点点N从点从点A出发以每秒出发以每秒3个个单位单位长度的速度沿长度的速度沿x轴向左运动，两点轴向左运动，两点同同时时出出发发.过过点点M作作x轴轴的的垂垂线线，交交直直线线OC于于点点P，过过点点N作作x轴轴的的垂垂线线
5、，交交直直线线AC于于点点Q，猜猜想想四四边边形形PMNQ的的形形状状(点点M，N重合时除外重合时除外)，并证明你的猜想；，并证明你的猜想；解解：四边形：四边形PMNQ为矩形为矩形证明如下：令证明如下：令yAC0，则，则x80，解得解得x8，A(8，0)设点设点M的运动时间为的运动时间为m秒，秒，则则OMm，AN3m，M(m，0)，N(83m，0)PMx轴，轴，QNx轴，轴，PMAQNA90，PMQN.点点P在直线在直线OC：yOC3x上，上，点点Q在直线在直线AC：yACx8上，上，P(m，3m)，Q(83m，3m)，PMQN，四边形四边形PMNQ为平行四边形为平行四边形PMA90，四边形四
6、边形PMNQ为矩形为矩形(2)在在(1)的的条条件件下下，当当点点M运运动动_秒秒时时，四四边边形形PMNQ是正方形是正方形.【变式变式3】如如图图，在矩形，在矩形ABCD中，中，AB4 cm，BC8 cm，AC的垂直平分线的垂直平分线EF分别交分别交AD，BC于点于点E，F，垂，垂足为足为O，连结，连结AF，CE.(1)求证：四边形求证：四边形AFCE为菱形为菱形；(2)求求AF的长的长；解：设菱形解：设菱形AFCE的边长的边长AFCFx cm，BC8 cm，BF(8x)cm，在在RtABF中，中，AB4 cm，由勾股定理，由勾股定理，得得42(8x)2x2，解得，解得x5，AF5 cm.(
7、3)如如图图，动动点点P，Q分分别别从从A，C两两点点同同时时出出发发，沿沿AFB和和CDE各各边边匀匀速速运运动动一一周周，即即点点P自自AFBA停停止止，点点Q自自CDEC停停止止，在在运运动动过过程程中中，点点P的的速速度度为为每每秒秒2 cm，点点Q的的速速度度为为每每秒秒1.2 cm，运运动动时时间间为为t s，当当以以A，P，C，Q四点为顶点的四点为顶点的四边形四边形是是平行四边形时，求平行四边形时，求t的值的值.【变式变式4】如如图，已知四边形图，已知四边形ABCD是正方形，是正方形，AB2，点，点E为对角线为对角线AC上一动点，连结上一动点，连结DE，过点，过点E作作EFDE，交射，交射线线BC于点于点F，以，以DE，EF为邻边作矩形为邻边作矩形DEFG，连结，连结CG.(1)求证：求证：DEEF.(2)探探究究CECG的的值值是是否否为为定定值值？若若是是，请请求求出出这这个个定值；若不是，请说明理由定值；若不是，请说明理由.(3)当四边形当四边形DEFG面积为面积为5时，求时，求CG的长的长.
