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1、第2节平面向量基本定理及其坐标表示 课时训练 练题感 提知能【选题明细表】知识点、方法题号平面向量基本定理及其应用3、4、8、14平面向量的坐标表示及运算1、2、6、7共线向量的坐标表示5、11、12、13综合问题9、10、15、16A组一、选择题1.(2013湛江毕业班调研)已知点M是ABC中BC边的中点,=(1,-2),=(2,3),则=(B)(A)(6,2) (B)(-6,-2)(C)(2,10)(D)(-2,-10)解析:由题意可得=-(+)=-(3,1)=(-3,-1),又M是BC的中点,所以=2=(-6,-2),故选B.2.(2013重庆铁路中学模拟)设向量a=(1,-3),b=(
2、-2,4),则向量-2a-3b为(D)(A)(1,-1)(B)(-1,1)(C)(-4,6)(D)(4,-6)解析:-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).故选D.3.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则等于(B)(A)a+b(B)a+b(C)a+b(D)a+b解析:由已知得DE=EB, 由题意知DEFBEA,DF=AB.即DF=DC.CF=CD.=(-)=b-a=b-a.=+=a+b-a=a+b.故选B.4.(2012皖南八校联考)已知向量e1与e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-
3、3y)e2=6e1+3e2,则x-y等于(A)(A)3(B)-3(C)0(D)2解析:(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,(3x-4y-6)e1+(2x-3y-3)e2=0,所以由-得x-y-3=0,即x-y=3,故选A.5.(2013惠州调研)已知向量a=(1,2),b=(0,1),设u=a+kb,v=2a-b,若uv,则实数k的值为(B)(A)-1(B)-(C)(D)1解析:u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k),v=(2,4)-(0,1)=(2,3),又uv,13=2(2+k),得k=-,故选B.6.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边ABDC,ADBC
4、.已知A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为(A)(A)(0,-2)(B)(-4,2)(C)(16,14)(D)(0,2)解析:设D(x,y),由题意知=+,即(x-6,y-8)=(-8,-8)+(2,-2)=(-6,-10),故选A.7.已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0).给出下面的结论:直线OC与直线BA平行;+=;+=;=-2.其中正确的结论的个数是(C)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:=(-2,1),=(2,-1),又A,B,C,O不共线,OCBA,故正确;+=(-4,0),而=(4,0),故错误;+=(2,1)+(-2,1)=(0
5、,2)=,故正确;-2=(0,2)-2(2,1)=(-4,0)=,故正确.所以正确的结论的个数是3.故选C.二、填空题8.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足=+,则=.解析:=+=+=+=,=.答案:9.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共线,则+的值为.解析:=(a-2,-2),=(-2,b-2)且,(a-2)(b-2)-(-2)(-2)=0,ab-2(a+b)=0,即a+b=,+=.答案:10.ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,设向量m=(3c-b,a-b),n=(3a+3b,c),mn,则cos A=.解析:mn,(3c-b)c=(
6、a-b)(3a+3b),即bc=3(b2+c2-a2),=,cos A=.答案:11.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是.解析:=(1,2),=(k,k+1).由题知与不共线,1(k+1)-2k0,解得k1.答案:k1三、解答题12.已知a=(1,2),b=(-3,2),是否存在实数k,使得ka+b与a-3b共线,且方向相反?解:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2).a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).若向量ka+b与向量a-3b共线,则必有(k-3)(-4)-(2k+2)1
7、0=0,解得k=-.这时ka+b=(-,),所以ka+b=-(a-3b).即两个向量恰好方向相反,故存在实数k满足条件,且k=-.13.已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b).(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系式;(2)若=2,求点C的坐标.解:(1)由已知得=(2,-2),=(a-1,b-1),A,B,C三点共线,.2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.(2)=2,(a-1,b-1)=2(2,-2).解得点C的坐标为(5,-3).B组14.设a是已知的平面向量且a0,关于向量a的分解,有如下四个命题:给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;给定向量b和c,总存在实数和
8、,使a=b+c;给定单位向量b和正数,总存在单位向量c和实数,使a=b+c;给定正数和,总存在单位向量b和单位向量c,使a=b+c;上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:根据平面向量基本定理知,正确,错误,对于,不妨设a=(2,2),=,b=(1,0),c=(x,y),则(2,2)=(1,0)+(x,y),所以所以y=4,与c是单位向量矛盾,错误.故选B.15.(2013潮州市二模)设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种运算ab=(a1,a2)(b1,b2)=(a1b1,a2b2),已知m=,2,n=(x
9、1,sin x1).点Q在y=f(x)的图象上运动且满足=mn(其中O为坐标原点),则y=f(x)的最大值及最小正周期分别是.解析:因为m=(,2),n=(x1,sin x1),所以=mn=(x1,2sin x1),又点Q在y=f(x)的图象上运动,所以2sin x1=f(x1),令x1=t,则x1=2t,所以f(t)=2sin 2t,即f(x)=2sin 2x,所以y=f(x)的最大值是2,最小正周期是.答案:2,16.已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及=+t,试问:(1)t为何值时,P在x轴上?在y轴上?P在第三象限?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.解:(1)=(1,2),=(3,3),=+t=(1+3t,2+3t).若点P在x轴上,则2+3t=0,解得t=-;若点P在y轴上,则1+3t=0,解得t=-;若点P在第三象限,则解得t-.(2)不能,若四边形OABP为平行四边形,则=,该方程组无解,四边形OABP不能成为平行四边形.
