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1、平面向量数量积教学设计一、内容分析数量积是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。本节课通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容。二、课标要求1平面向量的数量积通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的
2、夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，强化学生的类比思想；通过数量积的性质、运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。三、教材重点、难点重点是平面向量的数量积的概念和性质；用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角；平面向量数量积的运算律的探究及应用。难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面向量数量积的灵活应用。五、教学过程设计及分析情景1问题 回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？ 结合向量的学习你有什么想法？若一个物体在力的作用下
3、产生的位移为，那么力所做的功等于多少？ 分析反思以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念做铺垫。 师生互动 生： （其中是和的夹角）。师：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量来确定？显然功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。从中我们得到一个启发：能否将功看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果呢？从而得出平面向量的“数量积”的概念。 情景2 1、定义向量数量积。弄清定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果是向量还是数量？2、如何确定两个非零向量的数量积的符号，什么情况下值为零？ 分析反思 使学生从感性到理性去认知数量积的定义。通过对概念的认识、分析和探究，使学生
4、加深理解，并掌握相关的性质及几何意义。同时加深对投影的认识。 师生互动 1、仿照物理问题建构“数学模型”。引入“向量数量积”的概念：已知两个非零向量与，把数量叫做与的数量积（或内积），记作：，即（其中是与的夹角）。叫做向量在方向上（在方向上）的投影。2、规定：零向量与任何向量的数量积为。3、（1）数量积运算结果的符号取决于与的夹角（）的大小；（2）两个向量的数量积是一个数量，它与两个向量的长度及其夹角有关；（3）符号不能写成或的形式；（4）找向量的夹角时，应将两向量的起点平移到同一个点上。4、探究其性质：（1）（与都是非零向量）；设置情景：若，则向量与至少有一个是零向量？类比时，若或。而且此性
5、质在解决有关线段垂直问题时具有很好的作用。（2）当向量与共线同向时，；当向量与共线反向时，。特别地或（与二次根式性质：进行类比）。这是求向量长度的又一重要方法。 情景3 由学生自主学习来完成书本例题1。 分析反思 通过计算巩固对数量积定义的理解。进一步引导学生对和的大小关系进行一般的研究比较。 师生互动 从例1容易得出性质和数量积的几何意义。 情景4 给学生分钟时间，阅读教材，并对前面所学的内容及研究方法作一个归纳小结。 分析反思 培养学生的阅读能力和及时进行归纳小结的学习习惯。把课堂还给学生，体现师生间的合作探究,同步配合学生的学习和探索。 师生互动 学生通过自主阅读、发表自己的看法，老师可
6、以有针对性进行学习方法点拨。 情景5 运算律和运算是紧密相联的，类比实数运算中的运算律，探究平面向量数量积的运算律。 分析反思 通过类比、探究使学生得出数量积的运算律，进一步培养学生的逻辑思维和研究问题的能力。 师生互动 1、回顾实数运算中有关乘法的运算律。类比数量积的运算律，体会不同运算的运算律不尽相同，需要研究。已知向量、和实数，则 2、对向量数量积的运算律进一步研究，（1）成立吗？显然，等式左边与向量共线，右边与向量共线，而向量与不一定共线，因此结论不一定成立；（2）由能否推出？（反例：当时，有。但不能得到）。结合实数，有进行类比，辩析。3、老师可以通过学生的讨论进行纠错，理解不同的运算
7、具有不同的运算律，体会到数学的法则与法则之间的区别与联系。同时注意利用学生错误这一重要的资源，让学生更容易找到易错点和易混点，从而更清晰、准确地掌握知识。 情景6 例2、例3、例4的教学。 分析反思 1、要求学生体会实际解题中运算律的作用，比较向量运算与多项式乘法运算的异曲同工；2、学会利用数量积来解决有关垂直问题，体会运算律带来的优越性。3、上面几个例题，层层递进，都是把较难的问题转化为已经解决的较易的标准问题，体现了知识和方法上的转化。 师生互动 1、老师可以将例题内容与多项式乘法运算进行类比；2、让学生自己体会用数量积将“几何问题”化归为方程问题来求解的简练，进一步体现向量的工具作用。
8、情景7 课后反思：让学生回顾总结本节课的学习内容及探究、解决问题的方法。 分析反思 让学生整理相关的学习内容，使得“知识系统性、技能熟练性”得到更加充分体现，体会所学知识的引入基础及探究、解决问题时用到的数学思想和数学方法，培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力。六、总结反思：1两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定；（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替；（3）在实数中，若a0，且ab=0，
9、则b=0；但是在数量积中，若0，且=0，不能推出=。因为其中cosq有可能为0；（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c。但是= ；如右图：= |cosb = |OA|，c = |c|cosa = |OA| =，但 ； (5)在实数中，有() = ()，但是() ()，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c不共线。2平面向量数量积的运算律特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到；（3）=0不能得到=或=。3向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数
10、学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直；4注重数学思想方法的教学数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。化归转化的思想方法。向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。分类讨论的思想方法。如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量在方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。5突出向量与其它数学知识的交汇“新课程增加了新的现代数学内容，其意义不仅在于数学内容的更新，更重要的是引入新的思维方法，可以更有效地处理和解决数学问题和实际应用问题”。因此，新课程卷中有些问题属于新教材与旧教材的结合部，凡涉及此类问题，高考命题都采用了新旧结合，以新带旧或以新方法解决的方法进行处理，从中启示我们在高考学习中，应突出向量的工具性，注重向量与其它知识的交汇与融合。
