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1、竞赛数学解题研究之不等式证明专题一、利用公式法证明不等式一、公式法1、柯西不等式：设与为任意两数组，则 等号当且仅当时成立。例1、设，求的最大值。（第7届美国数学竞赛）例2、设P是锐角内一点，P到三边BC、CA、AB的垂足分别是D、E、F求出（并加以证明）使达到最小值的点P。（1990年，浙江省高中数学夏令营）例3、设P是内一点，P到三边BC、CA、AB的垂足分别是D、E、F求出（并加以证明）使达到最小值的点P。（IMO22，1981）例4、设为两两互不相等的正整数，求证： （IMO20）例5、求出所有的实数a，使得存在非负实数，满足下列关系：， ， 例6、设都是实数，并且试证：（1963年成
2、都市数学竞赛试题）2、均值不等式设为n个正数，则等号当且仅当时成立。例1、已知的面积S及角A均为定值，记A的两夹边为b,c则当取最小值时，的值为多少。（1985年长沙市数学竞赛）例2、设都是正数，证明：（1984年全国高中数学联赛）3、排序不等式：设与为两数组，则，其中是的一个排列，等号当且仅当或时成立。（同序最大，倒序最小，乱序居中）例1、设是正数的一个排列，证明：（匈牙利数学竞赛试题）例2设为两两各不相同的正整数，求证：对任何正整数n，下列不等式成立。（IMO20）例3、设，又设是的一个排列，求证：。(IMO17)二、代换法（代数代换法、三角代换法）1、代数代换法在几何问题中，寻求含有不等
3、式所涉及的元素的关系式，可用代数法证之。设的三边长分别为a,b,c，通过代换。，易得a=y+z,b=z+x,c=x+y则：半周长；面积；外接圆半径；内切圆半径例1、已知，它的内心为I，的内角平分线分别交对边于，求证：。（IMO32-1）例2、已知三角形的三边长为，其面积为S，求证：，并说明取等号的条件是什么。（IMO3） 例3、已知三角形的三边长为，证明：并说明取等号的条件是什么。（IMO24，1983）例4、已知三角形的三边长为，证明：（IMO6） 例5、设为正数，试证：（83年瑞士数学竞赛）。2、三角代换法例1、已知求证：例2、设，求函数的最大值。例3、设都是实数，并且试证：（1963年成
4、都市数学竞赛试题）3、其他类型的代换法例1、设为正实数，且满足，求证：（IMO1995）例2、设为正实数，且满足，证明：（IMO41）三、数学归纳法例1、已知为正实数，且，试证对每个,有 （1988年全国高中数学联赛） 四、增量法例1、已知三角形的三边长为，证明：（IMO6） 例2、设都是正数且，证明： （1984年全国高中数学联赛）例3、设为非负实数，且，证明：（IMO25）五、构造对偶式法例1、设为正实数，求证：。例2、设；都是正实数，且，证明：（1991年亚太地区数学竞赛）例3、设都是正实数，且，求证： （第24届全苏数学竞赛）例4、设都是正实数，且，证明：（第6届河南省高中数学竞赛）例5、证明：对任意，有不等式 （第26届独联体数学竞赛）。例6、已知，求证：（第31届IMO预选题）。六、构造函数法例1、设为非负实数，且，证明：（IMO25）例2、设为正实数，且满足，求证：（IMO36，1995）例3、设为正实数，求证： （1963年莫斯科数学竞赛）例4、设为三角形的三边，求证： （1988年第二届友谊杯数学竞赛）例5、设为正实数，且满足，求证：（IMO31，预选题）
