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1、函数的单调性教学设计山西省石楼县石楼中学 张丽蓉课题函数的单调性学科数学学段高中年级高一相关领域函数1.指导思想与理论依据建构主义认为，学习者的知识是在一定的情境下，借助他人的帮助，如人与人之间的协作、交流、利用必要的信息等等，通过意义建构而获得的。建构主义数学观认为，教学设计要根据学生原有知识和思维习惯设计数学活动，创设情境，让学生实现意义建构。普通高中数学课程标准(实验)指出：“高中数学课程应倡导自主探索等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程。”要求学生“理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其
2、中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。”2.教学背景分析学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识，在此学习单调性是对函数概念的延续和拓展，对进一步探索、研究函数的其它性质有着示范性的作用，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础。单调性起着承上启下的作用，一方面，是初中学习内容的深化，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。另一方面，函数的单调性为后面学习指数函数、对数函数、三角函数及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等都有着紧密的联系。通过初中对函数的学习，学生已具备了一定的观察事物能力，抽象归
3、纳的能力和语言转换能力。在此学习单调性，有助于学生从感性思维到理性思维的过渡。3.教学目标(含重、难点)知识与技能：（1）从形与数两方面理解单调性的概念（2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法过程与方法：（1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力（2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法（3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程情感态度价值观：通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯
4、；感受用辩证的观点思考问题教学重点：函数单调性的概念形成和初步运用教学难点：函数单调性的概念形成4、教学流程示意5.教学过程环节教师活动学生活动设计意图创设情境引入新课6分钟问题1：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律？描述完前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。二次函数的增减性要分段说明提出问题：二次函数是增函数还是减函数？问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数？观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述学生会指出：y=2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而增大y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而减
5、小y=x2+1在（-，0上y随x增大而减小，在（0，+）上y随x增大而增大学生可能回答：既是增函数又是减函数或有时增函数有时减函数讨论得出：单调性是函数的局部性质结合单调性是局部性质，用直观描述回答：在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数；y随x增大而减小就是减函数数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本环节的设计上，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。通过一次函数认识单调性，再通过二次函数认识单调性是局部性质，进而完善感性认识。环节教师活动学生活动设计意图初步探索概念形成8分钟问题三：（以y=x2
6、+1在 (0，+)上单调性为例）如何用精确的数学语言来描述函数的单调性？分三步：提问学生什么是“随着”如何刻画“增大”？对“任取”的理解进而得到增（减）函数的定义进一步提问:如何判断f(x1)f(x2)得到求差法后提出记x= x2-x1y= f(x2)-f(x1)= y2-y1学生交流、提出见解，提出质疑，相互补充回归函数定义解释要表示大小关系，学生会想到取点，比大小讨论应该如何取值。学生可能会提到多取一些，也可能会想到将取值区间任意小，进一步讨论得出“任取”二字。通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。另外，在此强调“
7、任意性”的理解，从而达到突破难点，突出重点的目的。在此还提出求差法比较大小，为后面的证明和判断扫清障碍概念深化延伸拓展12分钟问题四：能否说f(x)=在它的定义域上是减函数？从这个例子能得到什么结论？给出例子进行说明：进一步提问：函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，何时函数在AB上也是增（减）函数再一次回归定义，强调任意性思考、讨论，提出自己观点学生提出反例，如x1=-1，x2=1进一步得出结论：函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，函数在AB上不一定是增（减）函数将函数图象进行变形（如x0时图象向下平移）通过上面的问题，学生已经从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对
8、严谨的数学语言学生还缺乏准确理解，因此在这里通过问题深入研讨加深学生对单调性概念的理解。环节教师活动学生活动设计意图拓展探究：已知函数是（-，+）上的增函数，求a的取值范围利用单调性定义解决问题在问题四的背景下解决本题，体会在运动中满足任意性。证法探究应用定义13分钟例1：证明函数在（0，+）上是增函数证明：任取且 函数在（0，+）上是增函数例2：判断函数在（0，+）上的单调性进一步提问：如果把（0，+）条件去掉，如何解这道题？（作业）根据单调性定义进行证明讨论，规范步骤设元作差变形断号定论根据定义进行判断体会判断可转化成证明课后思考本环节是对函数单调性概念的准确应用，本题采用前面出现过的函数
9、，一方面希望学生体会到函数图象和数学语言从不同角度刻画概念，另一方面避免学生遇到障碍，而是把注意力都集中在单调性定义的应用上。课标中指出“形式化是数学的基本特征之一，但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义出发，寻求方法，并体会转化思想。小结评价作业创新6分从知识、方法两个方面引导学生进行总结.作业（1、2、4必做，3选做）1、 证明：函数在区间0，+)上是增函数。2、课上思考题3、求函数的单调区间4、思考P46 探索与研究回顾函数单调性定义的探究过程；证明、判断函数单调性的方法步骤；数学思想方法完成课堂反馈使学生对单调性概念的发生与发展过程
10、有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义作业实现分层，满足学生需求6.学习效果评价设计学习效果预测： 在本节课学习中，学生能理解单调性的定义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行证明，能判断函数的单调性学习效果评价方式：1、 课堂反馈：证明：函数在（0，+）上是减函数2、 教师评价：课堂发言反映的思维深度；课堂发现问题的角度、能力；课堂练习的正确性；课堂学习的积极性3、 学生自评：本节课学习兴趣；独立思考的习惯；合作交流的意识；对知识、方法等收获的程度7.本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)1、在情境设置中，严格按照课标要求以二次
11、函数y=x2+1为例，经历画图、描述图象、找单调区间、形成单调性定义、证明其单调性的过程，将学生对单调性的认识从感性上升到理性，并将定义进行应用。2、在教学过程中，创设一个探索的学习环境，通过设计一系列问题，使概念得到形成和深化，学生亲身经历数学概念的产生与发展过程，从而逐步把握概念的实质内涵，深入理解概念。3、概念深化时，在研究是否满足任意性时引入函数图象的运动，为前面学习的集合中的运动进行巩固，为后面函数的学习进行铺垫。4、课标要求“高中数学课程应该返璞归真”，因此在例题的设计中避免了过度形式化，注重问题的多样性，注重学生对概念本质的理解。5、作业设计既可巩固基础又提供给学生充足的思考空间板书设计：
