《习题课讲义(级数).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《习题课讲义(级数).doc（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九讲：无穷级数一、 常数项级数1、 概念与性质：（1） 数列中的各项用加号连接的形式：称为无穷项数项级数，第项称为一般项（通项）。数列称为级数的前项之和（部分和），若，则称级数的和为，级数收敛；若不存在，则称级数发散。若级数收敛，称为级数的余项，。例1：判定下列级数的敛散性：解：，故发散；：解：，故收敛；调和级数：；解：由，故级数发散。几何级数：级数：（2） 性质：、设、为常数，若、收敛，则也收敛，且；推论：常数，与同敛散；比如：证明级数发散：因为与同敛散，又发散，故级数发散；注意：，；、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性；推论：与同敛散；、收敛级数“加括号”后所得的级数仍收敛于原来的和
2、；（“加括号”后所得的级数发散，则原级数必发散）比如：已知，求：解：，故；、若级数收敛，则（若，则发散）比如：由，则发散。、柯西收敛准则：级数收敛，当时，对任何，均有。2、 正项级数的审敛法若，则称级数为正项级数。由得单调增加，可知正项级数的收敛准则：正项级数收敛部分和有界。（1） 比较审敛法：若、为正项级数，且，其中为正常数，则当收敛时，也收敛；当发散时，也发散。比较审敛法的极限形式：若、为正项级数，且，则当时，与同敛散；当时，若收敛，也收敛；若发散，也发散；当时，若收敛，也收敛；若发散，也发散。（2）比值审敛法（达朗贝尔判别法）：设为正项级数，则当时，收敛；当时， 发散。比值审敛法的极限形
3、式：若为正项级数，且，则当时，收敛；当时， 发散；当时，无法确定。（3）根值审敛法（柯西判别法）：设为正项级数，则当时，收敛；当时， 发散。根值审敛法的极限形式：若为正项级数，且，则当时，收敛；当时， 发散；当时，无法确定。（4）积分审敛法：若（）为非负的不增函数，则与同敛散。（5）拉阿伯审敛法：若为正项级数，且，则当时，收敛；当时， 发散；当时，无法确定。3、交错级数及审敛法：（1）设，级数或称为交错（项）级数。（2）莱布尼兹审敛法：若交错级数或满足：，则该级数收敛。4、绝对收敛与条件收敛：若收敛，则称绝对收敛，此时也收敛；若发散，但收敛，则称条件收敛。判断下列级数的收敛性例1:;解:注意到
4、,当充分大时,即,故,收敛,因此:收敛.例2:;解:,因此原级数收敛.例3:解:,当时,级数收敛;当时,级数发散;当时,当时,该级数收敛,当时,该级数发散.例4:,解:因为,又发散,收敛,因此收敛, ,发散.例5:;解: ,当即时,级数收敛;当时,级数发散;当时,故级数发散.例6:;解:由于,及,故级数收敛.例7:解:由于及当时,当时,因此当时,级数发散;当时,级数收敛.例8:;解:由于,即,级数发散,故原级数也发散.例9:;解:由于,取则有,及收敛,故原级数收敛.例10:;解:,当充分大时,则有,即,也即,又收敛,故原级数收敛.例11:;解:,故级数收敛.例12:;解:考虑,又,即,发散,因
5、此原级数收敛.例13:设证明级数当时收敛,当时发散.证明:根据极限定义,当时,恒有.即.当时,取适当小的,使,即得,即,又,收敛,故收敛.当时,取适当小的,使,即得,即,又,发散,故发散.例14:已知级数收敛,问级数是否收敛?解:由于,及收敛,故收敛,即绝对收敛,因此收敛.例15:讨论级数的收敛性,若收敛,是绝对收敛,还是条件收敛?解:原式,由知发散,考虑,由于,取得,又,故在时单调减少,因此有,即,满足莱布尼兹定理条件,因此本级数条件收敛.例16: 讨论级数的收敛性,若收敛,是绝对收敛,还是条件收敛?解:由于,发散,故发散,又,级数收敛,发散,故原级数发散.例17: 讨论级数的收敛性,若收敛
6、,是绝对收敛,还是条件收敛?解:由于,且当时,.故原级数为交错级数.发散(,又发散),故原级数不会绝对收敛,又,取故单调减少,即,也即,满足狄里克来条件,因此该级数条件收敛.例18:已知数列收敛,级数收敛,证明级数收敛.解一:设级数的部分和为,级数部分和为 即存在,故级数收敛级数收敛.解二:取,则级数收敛,又,故级数收敛,因此原级数收敛.例:已知收敛,证明级数也收敛.证明: 已知收敛,故存在,使,.记,由于,故,因此,即正项级数的部分和数列有上界,从而原级数收敛.例20:设正项数列单调减少,且级数发散,试问级数是否收敛?并说明理由.解: 正项数列单调减少且有下界,故存在,不妨设为,则.若,则由
7、莱布尼兹定理知级数收敛,矛盾,故.因此由,故级数收敛.例21:设且,问级数是否收敛?解:=,由知,于是,级数收敛.又,故发散,因此原级数条件收敛.例22:设在点的某个邻域内具有二阶连续导数,且,证明级数绝对收敛.证明:由题意知,又,在点的某个邻域内连续,不妨取该邻域内含有原点的一小区间,在上连续,则使,故.令,当充分大时,有,收敛,因此级数绝对收敛.例23 判别级数的敛散性。解（1），得单调减少；由，及得，即，故级数收敛。又， 由，及发散知发散，故级数条件收敛。一、 函数项级数1. 概念与性质(1)称为函数项级数.若收敛,称为的收敛点,收敛点的全体称为收敛域, 若发散,称为的发散点,发散点的全
8、体称为发散域.若为收敛点,收敛于和函数,记,则称为级数的余项,并且.(2)记,则称为关于的幂级数,记,则有,为了方便以后记为.(3)Abel定理:如果幂级数在处收敛,则对于适合的一切,绝对收敛, 如果幂级数在处发散,则对于适合的一切,发散.(4)若幂级数在某些点收敛, 在某些点发散,则必存在某个确定的唯一的常数,使当时,幂级数绝对收敛;当时,幂级数发散.这里的称为幂级数的收敛半径.(5) 收敛半径的求法:设为幂级数的相邻两项的系数,若或,则当时,取;当时,取;当时,取注意:时, 幂级数仅在处收敛.2. 幂级数的运算性质(1) 若在内收敛, 在内收敛,则在内收敛,其中且.,其中,(2) 的和函数
9、在其收敛区间内连续,可导,且可逐项求导和逐项积分,即 . 注意: 逐项求导和逐项积分后得到的幂级数与原来的幂级数具有相同的收敛半径,但是区间端点的收敛性要重新讨论.3. 泰勒级数(1) 若在的某个邻域内具有各阶导数,则称为关于的泰勒级数.(2) 若在的某个邻域内具有各阶导数,则在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是 , 其中, .注意: 在该邻域内能展开成泰勒级数是指的泰勒级数在该邻域内收敛,且收敛于本身.直接展开法:(1) 求出的各阶导数:及,(2) 写出泰勒级数:,并且求出它的收敛半径,(3) 考虑当时,(其中介于之间)在时,是否趋于零,如果趋于零,则有,即可展开成泰勒级数.间接展开法
10、(即利用常用的函数展开式):(1),;(2),;(3),;(4),端点的收敛性与有关.4、举例例1:求下列幂级数的收敛域(1);解: ,所以.当时,为交错级数,满足莱布尼兹定理要求,故该级数收敛,当时,为级数, ,故级数发散,因此该级数收敛域为.(2);解:该级数为缺项级数,直接用比值法判别:当,即时,级数收敛,当时,即,也即.因此该级数收敛域为.(3):解:取,则有,由知当,即,时,当时,发散,故该级数收敛域为.(4)解: 由知当,即时, =(*)由于,收敛,故(*)收敛.当,即时, =(*)由于发散,收敛,故(*)发散. 故该级数收敛域为.(5):(为常数)解: 由知,当时,故由,发散知这
11、时该级数的收敛域为.当时,由收敛,发散)发散知这时该级数的收敛域为.当时, 由于收敛,发散,这时该级数的收敛域为.当时,由于收敛,()发散,这时该级数的收敛域为.当时,由于,收敛, 故,均收敛,这时该级数的收敛域为.例2: :求下列幂级数的和函数:(1);解:,所以.当时,记,故由知,故,因此.(2);解: ,所以.当时,记.(3);解,所以.当时,记,.(4);解: 该级数为缺项级数,直接用比值法判别:,当,即时,级数绝对收敛,当时, ,级数发散,当时,记 .(5);解: ,所以.当时,记,.(6):计算;解:由于,考虑; ,所以.当时,记 ,因此, .例3:将下列函数展开成关于的幂级数(即
12、泰勒级数).(1) 解: ,(2);解: ,由得.(3):;解:,(4):;解:,(5):;解: , .(6):;解: ,三、傅里叶级数1、称为三角级数,若,则称为正弦级数,若,则称为余弦级数:设是周期为的周期函数,若取, ,上述三角级数称为傅里叶级数,其中系数称为傅里叶系数.2.函数展开成傅里叶级数的条件(收敛定理)设是周期为的周期函数,如果它在上连续,或只有有限个第一类间断点,并且至多有有限个极值点,则的傅里叶级数收敛,并且当为连续点时,级数收敛于本身, 当为间断点时,级数收敛于.3.当为奇函数时,此时展开的傅里叶级数为正弦级数.当为偶函数时, ,此时展开的傅里叶级数为余弦级数.4.周期延
13、拓:若仅在有定义,且满足定理条件,此时可将在外作周期延拓(即作以为周期的周期函数,使,),然后将展开成傅里叶级数,限制,即得到的傅里叶级数.5.奇(偶)延拓:若仅在有定义,且满足定理条件,此时可将先在内作奇(偶)延拓, ,然后在外作周期延拓(即作以为周期的奇(偶)函数,使,),然后将展开成傅里叶级数,限制,即得到的正(余)弦级数.例1:将展开成傅里叶级数.解:将在外作周期延拓,使其满意定理条件.可先考虑取, 故所以例2:设在区间上为可积的偶函数,且,证明在的展开式中系数.证明:由为可积的偶函数,故展开式为余弦级数.因此令令,又,故.例3:将在区间上展开成傅里叶级数,并求,.解: 在外作周期延拓,使其满意定理条件. 故 令, 由得 ,令, 由得 .例4:怎样才能将在内可积的函数延拓到,使其傅里叶展开式为.解: 展开式中只有正弦项,故可取,又项不出现,故因此 取则,故当满足时,就使展开式满足要求.即例5:在区间上将展开成余弦级数,并求,解:先在内作偶延拓, ,然后在外作周期延拓,使其满足收敛定理要求. 又, 所以, 又,由得, , 收敛,故因此,. 例6: 已知是以为周期的函数, 为其傅里叶系数, 试将展开成傅里叶级数.解:由知:为以为周期的函数. 由(令)知为偶函数,故的傅里叶级数为余弦级数:,其中 , 因此, 的傅里叶级数为。
