《2024八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定Ⅱ第2课时上课课件新版湘教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定Ⅱ第2课时上课课件新版湘教版（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2直角三角形的性质和判定（）第2课时 1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.（重点）2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长.（难点）问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，并结合曾小贤和胡一菲的做法，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题勾股定理的简单实际应用一例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?2m1mABDC典例精析解：在RtABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+
2、22=5 因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过.ABDCO 解：在RtABO中，根据勾股定理得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，OB=1.在RtCOD中，根据勾股定理得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.例2 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B
3、也外移0.5m吗?例3：我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？D DA AB BC C解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得，BC2+AC2=AB2即 52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1，2 x=24，x=12，x+1=13.答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.例4 在一次台风的袭击中，小
4、明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？8 米6米 8 米米6米米ACB解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.在RtABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.归纳总结数学问题直角三角形勾股定理实际问题转化构建利用解决1.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为()ABCA
5、.50米 B.120米 C.100米 D.130米130120?A练一练2.如图，学校教学楼前有一块长方形草坪,草坪长为4米，宽为3米，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.（1）求这条“径路”的长；（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？解：(1)在Rt ABC中，根据勾股定理得这条“径路”的长为5米.（2）他们仅仅少走了 (3+4-5)2=4(步).别踩我,我怕疼!A BCCBA问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？AC+CB AC+CB ABAB（两点之间线段最短）（两点之间线段
6、最短）思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？利用勾股定理求最短距离二BAdABAABBAO想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？A 蚂蚁AB的路线问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？BA根据两点之间线段最短易知第四个路线最近.若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，取3.BA3O12侧面展开图 123ABAA 解：在RtABA中，由勾股定理得 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.归纳例5 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建
7、梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 米，高AB是5 米，取3）?ABABAB解：油罐的展开图如右图，则AB为梯子的最短距离.AA=232=12,AB=5,AB=13.即梯子最短需13米.数学思想：立体图形平面图形转化展开B牛奶盒牛奶盒A【变式题】看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在点A处，并在点B处放了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找出吃到火腿肠粒的最短路程么？6cm8cm10cmBB18AB2610B3AB12=102+（6+8）2=296，AB22=82+（10+6）2=320，AB32=62+（10+8）2=36
8、0，解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理得AB1AB2AB3.小蚂蚁吃到火腿肠的最短路程为AB1，长为 cm.例6 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家他要完成这件事情所走的最短路程是多少？牧童A小屋BAC东北解：如图，作出点A关于河岸的对称点A，连接AB,则AB就是最短路程.由题意得AC=4+4+7=15(km)，BC=8km.在RtACB中，由勾股定理得 求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路程的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称
9、点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路程.归纳如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少.AB解：由题意得AC=2，BC=1,在RtABC中，由勾股定理得 AB=AC+BC=2+1=5AB=，即最短路程为 .21ABC练一练1.从电线杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（）A.24m B.12m C.m D.m D2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（）A.9cm B.12cm C
10、.15cm D.18cm D3.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？ABC解：如图，过点A作ACBC于点C.由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米)，答：小鸟至少飞行10米.4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路的长是多少？BAABC解：台阶的展开图如图，连接AB.在RtABC中，根据勾股定理得AB2=BC2AC25524825329,AB=73
11、cm.5.为筹备迎新晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？能力提升：解：如右下图，在RtABC中，因为AC36cm，BC108427(cm)由勾股定理，得AB2AC2BC23622722025452，所以AB45cm，所以整个油纸的长为454180(cm)问题问题2我们知道数轴上的点有的表示有理数，我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点的点吗？吗？0 01 12 23 34 4探究思路：把握题
12、意探究思路：把握题意找找关键字词关键字词连接相关知识连接相关知识建立数学模型（建模）建立数学模型（建模）提示提示直角边长为整数直角边长为整数2，3的直的直角三角形的斜边为角三角形的斜边为 .活动活动2 2：探究：探究用勾股定理在数轴上表示无理数用勾股定理在数轴上表示无理数 问题问题2我们知道数轴上的点有的表示有理数，我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点的点吗？吗？0 01 12 23 34 4解：解：解：解：L LA AB B2 2C C“数学海螺数学海螺”类比迁移利用勾股定理作出长为利用勾股定理作出长为利用勾股定理作
13、出长为利用勾股定理作出长为 的线段的线段的线段的线段.1 11 1用同样的方法，你能用同样的方法，你能否在数轴上画出表示否在数轴上画出表示 ，用同样的方法，你能用同样的方法，你能否在数轴上画出表示否在数轴上画出表示 ，0 02 2 1 1 3 3 5 54 4 1 1 1.运用勾股定理解决实际问题的方法是什么？运用勾股定理解决实际问题的方法是什么？（2）注意：运用勾股定理解决实际问题）注意：运用勾股定理解决实际问题,关键在于关键在于“找找”到到合适的直角三角形合适的直角三角形.数学问题数学问题直角三角形直角三角形勾股定理勾股定理实际问题实际问题转化转化构构建建利用利用解解决决（1）2.用勾股定
14、理作出长度为无理数的线段的思路是什么？用勾股定理作出长度为无理数的线段的思路是什么？构造直角三角形，即把无理数线段看成是两直角边都为整构造直角三角形，即把无理数线段看成是两直角边都为整数的斜边数的斜边.利用勾股定理表示无理数的方法利用勾股定理表示无理数的方法（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边整数的直角三角形的斜边.如本题中的如本题中的 看成直角边分看成直角边分别为别为2和和3的直角三角形的斜边；的直角三角形的斜边；看成是直角边分别为看成是直角边分别为1和和2的直角三角形的斜边等的直角三角形的斜边等.（2）以原点
15、）以原点O为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数右边的点表示是正无理数.知识要点知识要点证明：在证明：在RtABC 和和RtA B C 中，中，C=C=90，根据勾股定理，得，根据勾股定理，得 已知：如图，在已知：如图，在RtABC 和和RtA B C 中，中，C=C=90，AB=A B，AC=A C 求证：求证：ABCA B C A B C ABC ABCA B C （SSS）证明：证明：AB=A B ，AC=A C，BC=B C A B C
16、 ABC 已知：如图，在已知：如图，在RtABC 和和RtA B C 中，中，C=C=90，AB=A B，AC=A C 求证：求证：ABCA B C 例例2 如如图图,以以数数轴轴上上的的单单位位线线段段长长为为边边作作一一个个正正方方形形,以以原原点点为为圆圆心心,以以正正方方形形的的对对角角线线长长为为半半径径,画画弧弧交交数数轴轴于于点点A,则则A点表示的数是（点表示的数是（）1.运用勾股定理解决实际问题的方法是什么？运用勾股定理解决实际问题的方法是什么？（2）注意：运用勾股定理解决实际问题）注意：运用勾股定理解决实际问题,关键在于关键在于“找找”到到合适的直角三角形合适的直角三角形.数学问题数学问题直角三角形直角三角形勾股定理勾股定理实际问题实际问题转化转化构构建建利用利用解解决决（1）2.用勾股定理作出长度为无理数的线段的思路是什么？用勾股定理作出长度为无理数的线段的思路是什么？构造直角三角形，即把无理数线段看成是两直角边都为整构造直角三角形，即把无理数线段看成是两直角边都为整数的斜边数的斜边.勾股定理的应用用勾股定理解决 实 际 问 题用勾股定理解决点的距离及路径最短问题
