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1、几何复习题大学生数学竞赛解析几何培训讲义第三章 平面与空间直线点位式方程一、本章知识脉络框图点法式方程平面的方程截距式方程 方程一般式方程法线式方程对称式方程直线的方程参数式方程一般式方程平面束的方程射影式方程平面与点的位置关系两平面的位置关系位置关系直线与平面的位置关系两直线的位置关系点与直线的位置关系点与平面间的距离度量关系两平面的交角空间直线与平面间的角空间两直线的夹角二、本章重点及难点解析几何最显著的特点就是用代数方法来研究几何.因此学习解析几何不仅要有良好空间图形的认知能力，而且更要有一些必要的代数知识，特别是向量代数知识.作为最简单的曲面与曲线平面与空间直线来说，图形的认知应该是比
2、较容易的，关键是要学会灵活运用有关它们的一些数量、向量以及向量形式的方程，比如平面上或直线上的点的坐标、平面的法向量、直线的方向向量、平面的向量式方程以及直线的向量式参数方程等来解决有关几何问题.本章的重点是：l 平面的各种形式的方程及其相互转换；l 直线的各种形式的方程及其相互转换；l 点、平面及直线的关系.本章的难点是：l 点与平面的离差，平面划分空间问题；l 向量式方程的运用； l 灵活运用某些点、平面的法向量、直线的方向向量，平面束等来解决一些几何问题.三、本章的基本知识要点1.平面的方程 在中学的立体几何中，读者知道了一个公理：空间中不在一条直线上的三个点可以确定唯一的平面，还知道两
3、个定理：空间的两条相交直线可以确定准一的平面，垂直于平面的直线同时垂直平面内的一切直线通过上述的知识和利用矢量运算，可以得到以下平面的方程(1)向量式方程： (3.1)其中u,v为参数在仿射坐标系下，将它们代人式(31)，可得到下述参数式方程(2)参数式方程 (3.2)由于向量共面，可以得到下述混合积方程(3)混合积方程： （3.3）将对应的向量的坐标代入式(3. 3)中，可得到下述点位式方程(4)点位式(或行列式)方程 (3.4)将式(34)中的行列式按第一行展开，可得到下述一般方程(5)一般方程(或称为普遍式方程) (3.5)这是一个三元一次方程当D不等于零时，可以得到下述截距式方程 (6
4、)裁距式方程 （3.6）为了便于讨论点到平面的距离和点与平面的位量关系，将平面方程的讨论限制在直角坐标系下在空间直角坐标系下设平面上点Mo的径矢，平面上任意一点M的径矢以及平面的法向量，由于，所以通过 (37)可以得到平面的点法式方程(7)点法式方程 （3. 8) 格式(3. 8)展开整理后，仍可以得到与式(35)类似的三元一次方程.为了计算点到平面距离和讨论点与平面的相对位置，需要指定平面的法矢将取自原点O出发，垂直于平面的矢量指定为平面的法矢，有了指定法矢的平面常被称为有向平面此时平面上任意点M的径矢与平面的单位法矢有下面的关系： (39)其中p是非负的是原点O到平面的距离将式(3 9)中
5、各矢量的坐标代入，可得到下述的法式方程(8)法式方程 （3.10）将一般方程 转化为法式方程时，需要在方程两边同时乘上法化因子其中的正负号选取应满足，即时，取与D异号，当D=0时，取与第一个变量的系数同号例如，取 (9)三点式方程 （3.11）这个方程可以看做与式(34)为同一类2平面与点的相关位置(1)点与平面间的离差 （3.12）其中为原点指平面的单位法矢矢, p为原点O到平面的距离式(312)也可以写成代数表达式 (313)原点与平面间的离差为，反映出原点O、平面、及其单位法矢之间的关系点与平面间的离差是一个代数值，它的正负号反映出点在平面的侧向在平面同侧的点，的符号相同；对于在平面异仍
6、的点，的符号相反；平面上的点，等于零点与平面向的离差公式(3.13)可以将空间不在平面上的点分成两部分同理，两个相交的平面将空间的点分成四部分(2)点与平面间的距离为 （3.14）3.两平面的相关位置空间两平面 有以下的关系：（1）与相交(2) 与平行(3) 与重合在空间直角坐标系下，两平面与间的交角是用两平面二面角的平面角，)来表示，并且常取其中的锐角来表示根据平面与其法矢垂直的关系，记，可以得到 (3.15)同时，两平面与垂直的充要条件是 4空间直线的方程在中学的立体几何课程中有一个公理：空间不重合的两点可以确定唯一的直线读者容易知道直线上任意两个不重合的点可以确定一个直线的方向向量因此，
7、在空间取定坐标系，并设直线上一定点Mo的径矢，直线 上任意点M的径矢为，直线的方向向量，可以得到直线的向量式方程“（1）向量式方程 (3.16)其中t为参数（2）参数方程 (3.17)由式(3.17)梢去参数t，可以得到直线的对称式方程(3)对称式方程(或称直线的标准方程) (3.18)在式(318)中，方向效是一组不全为零的数如果其中有一个为零， 例如此时，可以设 如果其中有两个数为零，例如，此时可以设 这样可以得到相对应的直线方程 通过空间两点和，可以得到直线的两点式方程 (4)两点式方程 （3.19）空间直线可以看做是两个相交平面的交线，所以可以得到直线一般方程(5)直线的一般方程 (3
8、.20)其中系数。可以通过式(3.20)求出直线的方向向量的三个方向数，即虽然直线上点无穷多，但我们只需求出一个点，当其中两个变量的系数所构造的二阶行列式不为零时，例如那么第三个变量就可以任意取定数值(特别地可取)这样做可以保证得到的二元一次方程组有唯一解，可以解出，这时就解出直线上一个点有了直线上的点和方向矢量，就可以得到直线的向量式和参数式方程.直线的标淮方程也可以转化为直线的一般方程，由式(3.18)可以得到直线的射彤式方程(6)射影式方程 （3.21）式(321)中的两个方程表示了两个过直线的特殊平面，它们分别平行于坐标轴y轴和x轴5平面束(1)有轴平面束若两个平面 相交于一直线，那么
9、过直线的所有平面的方程可以表示为 (3.22)为避免出现无穷的情况，也可以取，方程(322)可以写成 n( (3 23)这是一个单参数的平面族，称为有轴平面束，直线为平面束的轴(中心轴)只要一个定解条件就可以求出的值，或m：n的值(2)平行平面束空间中平行于同一个平面的所有平面的集合称为平行平面束，它们的方程可以表示为 (324)其中A是实参数，系数A，B，C是已知的(324)式也是一个单参数平面族6直线与平面的相关位置设直线与平面的方程分别为 ： ：(1)直线与平面有以下的关系： 与 相交 与 平行 在 上(2)直线与平面相交时，将直线的方程改写为参数式并将其代人平面的方程中解参数t的值：
10、上式中分母将t值代回直线l的参数方程中就可以得到交点坐标(3)在直角坐标系下直线l与平面间的夹角可以由l的方向矢量和平面的法矢间的夹角来决定，即直线与平面垂直7空间两直线的相关位置设两直线与的方程分别为 (1)空间两直线与有以下的位置关系： 与 异面 与相交 与平行 与重合 (2)空间两直线的夹角空间两直线的夹角与它们的方向矢量之间的夹角有以下的关系： 或 通常取为锐角在直角坐标系下，空间两直线与的夹角余弦为 直线与垂直（3） 两异面直线间的距离与公垂线方程在直角坐标系下，两异面直线与之间的距离为两异面直线与的公垂线的方程为其中x ， y， Z是公垂线的方向数8空间一点到一直线的距离在空间直角
11、坐标系下设空间一点和直线 ：的距离 四、基本例题解题点击【例1】求空间圆 的半径.【提示】园的方程通常用球的方程和平面方程联立方程组表示。几何上来说，园可以看成球与平面的交线。利用球的半径和球心到平面的距离就可求出园的半径。【解】球心为原点，半径为2, 球心到平面的距离为d= ,圆的半径为 【例2】求在直线上并且与原点相距5个单位的点的坐标【提示】用到直线上的点，一般可考虑用直线的参数方.【解】设所求点为，则 又因为P点与原点相距5个单位 ,所以 求出所以所求点的坐标为（3，4，0）或（-3，-4，0） 【例3】求点关于直线的对称点.【解】已知直线的方向向量为 设所求点的坐标为（a，b，c）,则 的中点在直线上且 所以 求出点的坐标为（0，2，7） 【例4】求通过直线且与平面成角的平面方程.【解】利用有轴平面束的方程的过已知直线的平面方程为即由于所求平面与已知平面的交角为，所以利用两平面间的交角公式得计算并化简得求出或所以所求平面为 或 【提示及点评】l 注意如果有轴平面束的方程是用，那么会有无穷的情况.l 学好数学要有良好的计算能力. 【例5】求过点P（2，0，-1）且与直线垂直相交的直线方程.【解】设所求直线的方向数为，利用两直线共面的充要条件得即
