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1、概率论与数理统计课程第一章练习题及解答一、判断题(在每题后的括号中 对的打“V”错的打“X”)1、若P(A) 1，则A与任一事件B 一定独立。(话2、 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。(话3、 样本空间是随机现象的数学模型。(V4、 试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。(X)5、 试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。(X)6实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。(V7、若S为试验E的样本空间，Bi,B2丄,Bn为E的一组两两互不相容的事件，则 称Bi, B2,L ,Bn为样本空间S的一个划分。(X)8
2、、若事件A的发生对事件B的发生的概率没有影响，即P(B A) P(B)，称事件A、B独立。(V9、若事件Bi,B2, L ,Bn(n 2)相互独立，则其中任意k (2 k n)个事件也是相互 独立的。(V10、若事件Bi, B2,L ,Bn (n 2)相互独立，则将Bi,B2,L ,B.中任意多个事件换成 它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。(V二、单选题1 设事件A和B相互独立，则P(AUB) ( C )A、P(A) P(B)B、P(A) P(B)C、1 P(A)P(B) D、1 P(A)P(B)2、设事件A与B相互独立，且0 P(A) 1,0 P(B) 1，则正确的是( A )A、A
3、与A B 一定不独立B、A与A B 一定不独立C、A与B A 一定独立D、A与AB 一定独立3、设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则( B )A、P(C) P(A) P(B) 1B、P(C) P(A) P(B) 1C、P(C) P(AB)D、P(C) P(AU B)4、在电炉上安装了 4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度to，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而T(1)T(2)T(3)T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于()A、T(1)toB、T(2)toC、T(3)toD、T(4)to分析 事件Tto
4、表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度to ;事件T(3)to表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度to,即ET(3)to，选Co5、对于任意二二事件A和B,与AU BB不等价的是(: )A、A.BB、BAC、ABd、Ab分析 AU BBA BBAAB，而 AbB A，因 A B, Ab不一疋成立，选D6对于任意二二事件A和B,A、若AB，贝U A, B 一定独立B、若AB，贝U A, B有可能独立C、若AB，贝U A, B 一定独立 D、若AB，贝U A, B 一定不独立分析 若P(A), P(B)中至少有一个等于 o时，贝U A不成立；若P(A), P(B)均大于o时,则C不成
5、立；若AB ，但P(A) o，且P(B A) P(B)时，则A与B独立，D不成立，因此应选B。即当AB 时，如果P(AB) P(A)P(B)，则A与B独立，否则A与B不独立。7、对于事件A和B,满足P( B A)1的充分条件是()分析A、A是必然事件B、P( B A) oC、 A BP( B A)1的充分条件是P( AB)( A1，即P(AB) P(A)，显然在四个选项中，当A B时，AB A，可得P(AB)P(A)，因此AB 是 P( B A)1 的充分条件。选D8、已知o P(B) 1且P(A A2) B P(A B) P(A2 B)，则下列选项成立的是A、P(A A2) B P(A B)
6、 P(A B)B、P(A1B AB) p(ab)p(ab)C、P(AiA)P(AiB)P(A2B)D、P(B)P(Ai)P(BAi)P(A)P(BA2)分析依题意 P(A A2)B P(AB) P(A2B)P(AB A2B) P(AB) P(A2B)心 P(B)P(B) P(B) ， P(B)P(B)因为 0 P(B) 1，故有 P(AB A2B) P(AB) P(A2B)。选 B9、设A、B为任意两个事件，且A B, P(B) 0,则下列选项必然成立的是A、P(A)P(A B)D、P(A)P(A B)分析因为A B，故AB A，又P(B) 1，于是有P(A) P(AB) P(B)P(A B)
7、 P(AB)，选 B10、设 A、B 是两个随机事件，且 0 P(A) 1, P(B) 0, P(B A) P(B A)，则 必有()A、P(A B) P(A B)B、P(AB) P(A B)C、P(AB) P(A)P(B)D、P(AB) P(A)P(B)分析 应用条件概率定义从P(B A) P(B A)可得巴色 巴邑，P(A) P(A)即1 P(A)P(AB) P(A)P(B) P(AB) P(AB) P(A)P(B)，选 C三、填空题1、 随机试验记录一个小班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)，样本空间 S 为(S-|i 0,1,2,L ,100n )n2、 生产产品直到有10件正品
8、为止，记录生产产品的总件数，样本空间S为( S10,11,12,L)3、 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出2个次品就停止检查，或检查 4个产品就停止检查，记录检查的结 果，样本空间S为(S 00,100,0100,0101,0110,1100,1010,10110111,1101,1110,1111) 4、在单位圆内任意取一点，记录它的坐标，样本空间 S为(取一直角坐标系, 则样本空间为S (x, y) x2 y2 1 ;若取极坐标系，则样本空间为S ( , )1,02 o )5、设A, B, C为三个事件，用A, B, C的运算关系表示下列事
9、件。(1) A发生，B与C不发生，(ABC或者A B C )(2) A与B都发生，而C不发生，(ABC或者AB C )(3) A，B，C中至少有一个发生，(ABC )(4) A，B，C 都发生，(ABC )(5) A，B，C 都不发生，(ABC )(6) A，B，C中不多于一个发生，(ABBCCA或者 AB BC CA或者Abc abc Abc Abc )(7) A，B，C中不多于两个发生，(Dy Abc abc Abc Abc abc abc Abc或者 d7 A B C abc)(8 ) A， B， C中至少有两个发生，(d8 ab BC ca或者D8 ABC ABC ABC ABC )o
10、&设A，B是任意两个随机事件，则P( A B)(A B)(A B)(A B)(0)分析(A B)(A B) Aa Ab ab bb b(A B)(A B) Aa ab ab BB bP( A B)(A B)(A B)(A B) P(BB) P( )07、一批产品共有10个正品2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第 二次抽出的是次品的概率为( 分析 此为一全概率问题，设事件 Bi 第i次抽出次品，i 1,2，211,由题有P( B1)2/12 ,P(B1)10/12 ,p( B2B1)111,P( B2B,)于是 P( B2) =P( BO (B2B1) +P(B1) ( B,
11、 B1)10121112118、设 A, B两个事件满足 P(AB) P(AB)，且 P(A) p，则 P(B)()分析 P(AB) P(AUB) 1 P(AU B) 1 P(A) P(B) P(AB)因为 P(AB) P(AB)，故有 P(A) P(B) 1 , P(B) 1 P(A) 1 p9、设两两相互独立的三事件 A,B和C,满足条件：ABC , P(A) P(B) P(C),且已知 PAUBUC) 916，贝U P(A)()分析 由于A、B、C两两相互独立，且P(A) P(B) P(C),所以，P(AC) P(A)P(C) P(A)2,P(BC) P(B)P(C) P(A)2 ,PA
12、U B UC) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC) 3P(A) 3P(A)2依题意，有 3P(A) 3P(A)2916 , 解方程，得 P(A) 14。( P(A) 3,4不合题意舍去)10、 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为19 , A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)()分析 依题意，P(AB) P(AB)，故 P(AB) P(AB) P(AB) P(AB),即P(A) P(B)，又因A与B相互独立，故A与B亦相互独立， 1 _P(AB) P(A)P(B) P(A)219 P(A) 13, P(A) 2 3。四、计
13、算题1、(1)设 A, B, C 是三个事件，且(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=1/8，求A, B, C至少有一个发生的概率。(2)已知 P(A)=1/2 , P(B)=1/3 , P(C)=1/5 , P(AB)=1/10 , P(AC)=1/15 , P(BC)=1/20 , P(ABC)=1/30,求 A B , AB ,C ,亦C , ABC， C的概率。(3)已知 P(A)=1/2 , (i)若 A, B互不相容，求 P(A_) , (ii )若 P(AB)=1/8 ,求 P(A )。解：(1)5P(AC) P(ABC) P(ABC)P(
14、AB)0,于是 P( ABC)0P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) 由 ABC AB,且已知 P( AB)0,得 0 P( ABC)5因此 P( A B C)=-81 1 1 11(2) P(A B) P( A P( B) P(AB)=2 3 10154P( AB) (A B) =1-(A B)=；解：古典概型(1)设A= “最小号码为5”，贝 U P(A)CfCw1 ;12 ；P(ABC)P( A) P( B) +P( C) P( AB) -P( BC) -P( AC) +P( ABC)11 111151235 10201530609P( ABC)P( ABC) =1-P( A BC) =M60因为p( Ab)p( Abs):=p( Ab( cC)=p( Abc )P( ABC)于是P( ABC)p( AB)p( Abc)_ 4911560124 11 - -23p( AbC) P( AE) +P
