必修5--数列知识点总结及题型归纳.doc

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1、数列一、数列的概念(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;(2)通项公式的定义:如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如:1 ,2 ,3 ,4, 5 ,:(3)数列的函数特征与图象表示:4 5 6 7 8 9序号:1 2 3 4 5 6项 :4 5 6 7 8 9(4)数列分类:按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;按数列项与项之间的大小关系分:单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。例:下列的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?(1)1,2,3,4,5,6, (2)10, 9, 8, 7, 6, 5,

2、 (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a,(5)数列的前项和与通项的关系:例:已知数列的前n项和,求数列的通项公式二、等差数列题型一、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。例:等差数列, 题型二、等差数列的通项公式:;等差数列(通常可称为数列)的单调性:为递增数列,为常数列, 为递减数列。例:1.已知等差数列中,等于( )A15 B30 C31 D642.是首项,公差的等差数列,如果,则序号等于(A)667 (B)668

3、 (C)669 (D)670 题型三、等差中项的概念:定义:如果,成等差数列,那么叫做与的等差中项。其中 ,成等差数列 即: ()例:1设是公差为正数的等差数列,若,则 ( )A B C D2.设数列是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( )A1 B.2 C.4 D.8题型四、等差数列的性质:(1)在等差数列中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;(2)在等差数列中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列; (3)在等差数列中,对任意,;(4)在等差数列中,若,且,则;题型五、等差数列的前和的求和公式:。(是等差数列 )递推公式: 例:1.如果等差数列中,那

4、么(A)14 (B)21 (C)28 (D)352.设是等差数列的前n项和,已知,则等于( )A13 B35 C49 D 63 3.设等差数列的前项和为,若,则= 4.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )A.13项B.12项C.11项D.10项5.设等差数列的前项和为,若则 6.已知数列是等差数列,其前10项的和,则其公差等于( ) C. D.7设an为等差数列,Sn为数列an的前n项和,已知S77,S1575,Tn为数列的前n项和,求Tn。题型六.对与一个等差数列,仍成等差数列。例:1.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100

5、,则它的前3m项和为( )A.130 B.170 C.210 D.2602.一个等差数列前项的和为48,前2项的和为60,则前3项的和为 。3.设为等差数列的前项和,= 4(06全国II)设Sn是等差数列an的前n项和,若,则A B C D题型七判断或证明一个数列是等差数列的方法:定义法:是等差数列中项法:是等差数列通项公式法:是等差数列前项和公式法:是等差数列例:1.已知一个数列的前n项和,则数列为( )A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2.已知一个数列的前n项和,则数列为( )A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

6、3.数列满足=8, () 求数列的通项公式;题型八.数列最值(1),时,有最大值;,时,有最小值;(2)最值的求法:若已知,的最值可求二次函数的最值;可用二次函数最值的求法();或者求出中的正、负分界项,即:若已知,则最值时的值()可如下确定或。 例:1等差数列中,则前 项的和最大。 2设等差数列的前项和为,已知 求出公差的范围, 指出中哪一个值最大,并说明理由。3.已知是等差数列,其中,公差。(1)数列从哪一项开始小于0?(2)求数列前项和的最大值,并求出对应的值题型九.利用求通项1已知数列的前项和则 2.设数列的前n项和为Sn=2n2,求数列的通项公式;3.已知数列中,前和求证:数列是等差

7、数列求数列的通项公式4.设数列的前n项和,则的值为( )(A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)64等比数列等比数列定义:一、递推关系与通项公式1 在等比数列中,,则 2在等比数列中,则= 3.在各项都为正数的等比数列中,首项,前三项和为21,则( )A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中项:若三个数成等比数列,则称为的等比中项,且为是成等比数列的必要而不充分条件.例:1.和的等比中项为( ) 三、等比数列的基本性质,1.(1)(2)(3)为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列.(4)既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.例:1在等比数列中,和是方程的两个根

8、,则( ) 2.在等比数列中,求若3.等比数列的各项为正数,且( ) A12 B10 C8 D2+ 四、等比数列的前n项和,例:1.已知等比数列的首相,公比,则其前n项和 2.设等比数列的前n项和为,已,求和3设,则等于( )AB C D五. 等比数列的前n项和的性质若数列是等比数列,是其前n项的和,那么,成等比数列.例:1.一个等比数列前项的和为48,前2项的和为60,则前3项的和为( )A83 B108 C75 D632.已知数列是等比数列,且 六.等比数列的判定法(1)定义法:为等比数列;(2)中项法:为等比数列; (3)通项公式法:为等比数列; (4)前项和法:为等比数列。 为等比数列

9、。七.利用求通项例:1.数列an的前n项和为Sn,且a1=1,n=1,2,3,求a2,a3,a4的值及数列an的通项公式 2.已知数列的首项前项和为,且,证明数列是等比数列求数列通项公式方法(1)公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项例:1已知等差数列满足:, 求;2. 已知数列满足,求数列的通项公式; 3.数列满足=8, (),求数列的通项公式;4. 已知数列满足,求数列的通项公式;5. 设数列满足且,求的通项公式6. 已知数列满足,求数列的通项公式;7. 已知数列满足 (),求数列的通项公式;8. 已知数列满足且(),求数列的通项公式;9. 已知数列满足且(),求数列的通项公式

10、;(2)累加法1、累加法 适用于: 若,则 两边分别相加得 例:1.已知数列满足,求数列的通项公式。2. 已知数列满足,求数列的通项公式。3. 已知数列满足,求数列的通项公式。4. 设数列满足,求数列的通项公式(3)累乘法适用于: 若,则例:1. 已知数列满足,求数列的通项公式。2. 已知数列满足,求。3.已知, ,求。(4) 待定系数法 适用于解题基本步骤:1、 确定2、 设等比数列,公比为3、 列出关系式4、 比较系数求,5、 解得数列的通项公式6、 解得数列的通项公式例:1. 已知数列中,求数列的通项公式。2在数列中,若,则该数列的通项_3.已知数列满足,求数列的通项公式。解:设4已知数

11、列中,,,求5 已知数列满足,求数列的通项公式。(5)递推公式中既有又有 把已知关系通过转化为数列或的递推关系,然后采用相应的方法求解。1. 数列an的前n项和为Sn,且a1=1,n=1,2,3,求a2,a3,a4的值及数列an的通项公式 2.已知数列中,前和求证:数列是等差数列求数列的通项公式3已知数列的各项均为正数,且前n项和满足,且成等比数列,求数列的通项公式。(6)倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项例:1. 已知数列满足,求数列的通项公式。数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和。 公比含字母时一定要讨论例:1。已知等差数列满足,求前项和2已知等比数列满足,求前项和3.设,则等于( )A. B. C.D.2错位相减法求和:如:例:1求和 2.求和:3.设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且, ()求,的通项公式;()求数列的前n项和3裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项: 数列是等差数列,数列的前项和例:1.数列的前项和为,若,则等于_2.已知数列的通项公式为,求前项的和;3.已知数列的通项公式为,求前项的和4.求。4倒序相加法求和综合练习:1.等比数列的各项均为正数,且,(1)求数列的通项公式(2)设,求数列的前n项和2.已知等差数列满足, .(1)求数列的通项公式及

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