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1、数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；（2）通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，：（3）数列的函数特征与图象表示：4 5 6 7 8 9序号：1 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，5，6， (2)10, 9, 8, 7, 6, 5,
2、 (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a,（5）数列的前项和与通项的关系：例：已知数列的前n项和，求数列的通项公式二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。例：等差数列， 题型二、等差数列的通项公式：；等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。例：1.已知等差数列中，等于（ ）A15 B30 C31 D642.是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于（A）667 （B）668
3、 （C）669 （D）670 题型三、等差中项的概念：定义：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中 ，成等差数列 即： （）例：1设是公差为正数的等差数列，若，则 （ ）A B C D2.设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A1 B.2 C.4 D.8题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列中，对任意，；（4）在等差数列中，若，且，则；题型五、等差数列的前和的求和公式：。(是等差数列 )递推公式： 例：1.如果等差数列中，那
4、么（A）14 （B）21 （C）28 （D）352.设是等差数列的前n项和，已知，则等于( )A13 B35 C49 D 63 3.设等差数列的前项和为，若,则= 4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A.13项B.12项C.11项D.10项5.设等差数列的前项和为，若则 6.已知数列是等差数列，其前10项的和，则其公差等于( ) C. D.7设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn。题型六.对与一个等差数列，仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100
5、，则它的前3m项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.2602.一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为 。3.设为等差数列的前项和，= 4（06全国II）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则A B C D题型七判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：是等差数列中项法：是等差数列通项公式法：是等差数列前项和公式法：是等差数列例：1.已知一个数列的前n项和，则数列为（ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2.已知一个数列的前n项和，则数列为（ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
6、3.数列满足=8， （） 求数列的通项公式；题型八.数列最值（1），时，有最大值；，时，有最小值；（2）最值的求法：若已知，的最值可求二次函数的最值；可用二次函数最值的求法（）；或者求出中的正、负分界项，即：若已知，则最值时的值（）可如下确定或。 例：1等差数列中，则前 项的和最大。 2设等差数列的前项和为，已知 求出公差的范围， 指出中哪一个值最大，并说明理由。3.已知是等差数列，其中，公差。（1）数列从哪一项开始小于0？（2）求数列前项和的最大值，并求出对应的值题型九.利用求通项1已知数列的前项和则 2.设数列的前n项和为Sn=2n2，求数列的通项公式；3.已知数列中，前和求证：数列是等差
7、数列求数列的通项公式4.设数列的前n项和，则的值为（ ）（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64等比数列等比数列定义：一、递推关系与通项公式1 在等比数列中,，则 2在等比数列中，则= 3.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则（ ）A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件.例：1.和的等比中项为( ) 三、等比数列的基本性质，1.（1）（2）（3）为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.（4）既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.例：1在等比数列中,和是方程的两个根
8、,则( ) 2.在等比数列中，求若3.等比数列的各项为正数，且（ ） A12 B10 C8 D2+ 四、等比数列的前n项和，例：1.已知等比数列的首相，公比，则其前n项和 2.设等比数列的前n项和为，已，求和3设，则等于（ ）AB C D五. 等比数列的前n项和的性质若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，成等比数列.例：1.一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为（ ）A83 B108 C75 D632.已知数列是等比数列，且 六.等比数列的判定法（1）定义法：为等比数列；（2）中项法：为等比数列； （3）通项公式法：为等比数列； （4）前项和法：为等比数列。 为等比数列
9、。七.利用求通项例：1.数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式 2.已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列求数列通项公式方法（1）公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列满足：， 求；2. 已知数列满足，求数列的通项公式； 3.数列满足=8， （），求数列的通项公式；4. 已知数列满足，求数列的通项公式；5. 设数列满足且，求的通项公式6. 已知数列满足，求数列的通项公式；7. 已知数列满足 （），求数列的通项公式；8. 已知数列满足且（），求数列的通项公式；9. 已知数列满足且（），求数列的通项公式
10、；（2）累加法1、累加法 适用于： 若，则 两边分别相加得 例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。2. 已知数列满足，求数列的通项公式。3. 已知数列满足，求数列的通项公式。4. 设数列满足，求数列的通项公式（3）累乘法适用于： 若，则例：1. 已知数列满足，求数列的通项公式。2. 已知数列满足，求。3.已知， ，求。（4） 待定系数法 适用于解题基本步骤：1、 确定2、 设等比数列，公比为3、 列出关系式4、 比较系数求，5、 解得数列的通项公式6、 解得数列的通项公式例：1. 已知数列中，求数列的通项公式。2在数列中，若，则该数列的通项_3.已知数列满足，求数列的通项公式。解：设4已知数
11、列中，,，求5 已知数列满足，求数列的通项公式。（5）递推公式中既有又有 把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。1. 数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式 2.已知数列中，前和求证：数列是等差数列求数列的通项公式3已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。（6）倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例：1. 已知数列满足，求数列的通项公式。数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和。 公比含字母时一定要讨论例：1。已知等差数列满足，求前项和2已知等比数列满足，求前项和3.设，则等于（ ）A. B. C.D.2错位相减法求和：如：例：1求和 2.求和：3.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且， （）求，的通项公式；（）求数列的前n项和3裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项： 数列是等差数列，数列的前项和例：1.数列的前项和为，若，则等于_2.已知数列的通项公式为，求前项的和；3.已知数列的通项公式为，求前项的和4.求。4倒序相加法求和综合练习：1.等比数列的各项均为正数，且，（1）求数列的通项公式（2）设，求数列的前n项和2.已知等差数列满足, .(1)求数列的通项公式及
