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1、2.4 平面向量的数量积教学目标一、 知识与能力：1 掌握平面向量的数量积的物理背景及几何意义；2 掌握平面向量数量积的运算律；3 掌握平面向量数量积的坐标表示；4 能利用平面向量数量积解决有关长度、角度的问题.二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想方法，培养学生转化问题的能力；借助物理背景，感知数学问题，探究知识的来龙去脉；培养学生转化问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.教学重点向量的数量积的定义及性质教学难点对向量数量积的定义及性质的理解和应用教学时数2课时. 教学过程第一课
2、时一、新课引入问题：如图一个力F作用于一个物体上，使该物体位移S，（1） 如何计算这个力所做的功？W=|S|F|cosq.（2） 如何从数学的角度来理解这个公式呢？ q的意义是什么？ |F|cosq的意义是什么？|S|cosq 的意义是什么？师生活动设计：教师创设问题情境，学生积极思考，可以相互讨论.二、概念形成1向量的数量积已知两个非零向量a与b，我们把数量|a|b|cosq 叫做a与b的数量积（或内积），记作ab=|a|b|cosq，其中q是a与b的夹角，|b|cosq 叫做向量b在a方向上的投影.规定，零向量与任一向量的数量积为0.数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的
3、方向上的投影|b|cosq的乘积.2 数量积的性质思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？（1） ab ab=0；（2） 当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=-|a|b|，特别地，aa=|a|2；（3） | ab|a|b|.例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角q=120，求ab.解：ab=|a|b|cosq=54cos120=-10.3 数量积的运算律（1）ab= ba；（2）(la)b=l( ab)=a(lb)；（3）(a+b)c=ac+bc例2 对于任意向量a，b证明（1）(a+b)2=a2+2 ab+b2；（2）(a+b)(a-b)=
4、a2-b2.证明：（1）(a+b)2=(a+b)(a+b) =aa+ab+ba+bb =a2+2ab+b2； （2）(a+b)(a-b)=aa-ab+ba-bb=a2-b2.三、概念加深与巩固例3 判断下列说法是否正确：（1） 若a=0，则对于任一向量b，有ab=0. ( )（2） 若a0，则对任一非零向量b，有ab0. ( )（3） 若a0，ab=0，则b=0. ( )（4） 若ab=0，则a，b至少有一个为零. ( )（5） 若a0，ab=ac，则b=c. ( )（6） 若ab=ac，则b=c，当且仅当a0时成立. ( )（7） 对任意向量a、b、c，有(ab) ca(bc). ( )（8
5、） 对任意向量a，有a2=|a|2. ( )例4 已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60，求(a+2b)(a-3b).解：(a+2b) (a-3b)=aa-ab-6bb =|a|2-ab-6|b|2 =|a|2-|a|b|cosq-6|b|2 =-72.例5 已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是(a+kb) (a-kb)=0, 即a2-k2b2=0， a2=32=9，b2=42=16, 9-16k2=9，k= .练习1：向量|a|=6，a与b的夹角为120，求a在b方向上的投影. （-3）练习2：
6、已知|a|=8，|b|=6，a和b的夹角是60，求ab. (24)练习3：已知|a|=2，|b|=4，ka+b与ka-b垂直，求实数k的值. 解：(ka+b) (ka-b)=0k2a2-b2=0k2|a|2-|b|2=04k2-16=0k=2.四、归纳小结与作业1 平面向量的数量积的物理背景及几何意义；2 平面向量数量积的运算律.布置作业习题2.4 A组 1、2、3、6、7.第二课时一、复习回顾1 平面向量的数量积的物理背景及几何意义ab=|a|b|cosq，其中q是a与b的夹角；数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosq的乘积.2 平面向量数量积的运算
7、律.（1）ab= ba；（2）(la)b=l( ab)=a(lb)；（3）(a+b)c=ac+bc二、讲授新课1 平面向量数量积的坐标表示探究：已知两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，怎样用a与b的坐标表示ab？ a=x1i+y1j，b=x2i+y2j， ab=(x1i+y1j)(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2ij+x2y1ij+y1y2j2又 ii=1，jj=1，ij=ji=0 ab=x1x2+y1y2即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.2 向量的模.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，那么.3 向量的垂直设a=
8、(x1,y1)，b=(x2,y2)，则abx1x2+y1y2=0.4 向量的夹角设a、b都是非零向量，a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，q是a与b的夹角，则.例1 已知a=(3,-1)，b=(1,-2)，求ab，|a|，|b|，a与b的夹角q.解：， ， .例2 例3 已知a=(-3,5)，b=(2,-3)，若a+kb与2a+3b垂直，求k的值.例4 练习1：已知a=(1,2)，b=(2,-1)，求|a|，|b|以及a与b的夹角q.练习2 已知a=(2,-3)，b=(3,1)，且b-la与b垂直，求实数l的值.练习3 三、归纳小结与作业1 平面向量数量积的坐标表示，2 能利用平面向量数量积解决有关长度、角度的问题.布置作业习题2.4 A组5、9、10、11
