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1、向量知识点归纳及常见总结计划精选文档向量知识点概括与常有题型总结一、向量知识点概括1与向量观点相关的问题向量不一样于数目，数目是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数目能够比较大小，而向量不可以比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“ab”错了，而|a|b|才存心义.有些向量与起点相关，有些向量与起点没关.因为全部向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点没关的向量（既自由向量）.当碰到与起点相关向量时，可平移向量.平行向量（既共线向量）不必定相等，但相等向量必定是平行向量单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（x,y）,此中x、y知足x2y21（可用（cos,sin）（02）表
2、示）.特别：AB表示与AB同向的单位向量。uuuruuur|AB|比如：向量(ABAC0)所在直线过ABC的心里(是BAC的角均分线所在uuuruuur)(|AB|AC|直线)；uuuruuuruuuruuur(ABAC)0,).例1、O是平面上一个定点，A、B、C不共线，P知足OPOAuuuruuuur|AB|AC则点P的轨迹必定经过三角形的心里。1(变式)已知非零向量AB+ACABAC=,则ABC为()AB与AC知足()BC=0且2|AB|AC|AB|AC|A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形(06陕西)0的长度为0，是有方向的，而且方向是随意的，实数0
3、只是是一个无方向的实数.有向线段是向量的一种表示方法，其实不是说向量就是有向线段.（7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。)2与向量运算相关的问题向量与向量相加，其和还是一个向量.（三角形法例和平行四边形法例）当两个向量a和b不共线时，ab的方向与a、b都不相同，且|ab|a|b|；当两个向量a和b共线且同向时，ab、a、b的方向都相同，且|ab|a|b|；当向量a和b反向时，若|a|b|，ab与a方向相同，且|ab|=|a|-|b|；若|a|b|时,ab与b方向相同，且|ab|=|b|-|a|.向量与向量相减，其差还是一个向量.向量减法的本质是加法的逆运算.三角
4、形法例合用于首尾相接的向量乞降；平行四边形法例合用于共起点的向量乞降。ABBCAC;ABACCB例2：P是三角形ABC内任一点，若CBPAPB,R，则P必定在（）.精选文档A、ABC内部B、AC边所在的直线上C、AB边上D、BC边上例3、若2ABBCAB0，则ABC是：B.锐角C.钝角D.等腰Rt例4、已知向量a(cos,sin),b(3,1)，求|2ab|的最大值。剖析：经过向量的坐标运算，转变为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。解：原式=|(2cos3,2sin1)|(2cos3)2(2sin1)2=88sin()。当且仅当2k5(kZ)时，|2ab|有最大值4.36评析：其实此类问题
5、运用一个重要的向量不等式“|a|b|ab|a|b|”就显得简短明快。原式|2a|b|=2|a|b|2124，但要注意等号建立的条件（向量同向）。围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量.如，ABBCCA0,（在ABC中）ABBCCDDA0.(ABCD中)判断两向量共线的注意事项：共线向量定理对空间随意两个向量a、b(b0)，ab存在实数使a=b假如两个非零向量a，b，使a=b（R），那么ab；反之，如ab，且b0，那么a=b.这里在“反之”中，没有指出a是非零向量，其原由为a=0时，与b的方向规定为平行.数目积的8个重要性质两向量的夹角为0.因为向量数目积的几何意义是一个向量的长
6、度乘以另一直量在其上的射影值，其射影值可正、可负、能够为零，故向量的数目积是一个实数.设a、b都是非零向量，e是单位向量，是a与b的夹角，则eaae|a|cos.(|e|1)abab0（=90，cos0)在实数运算中ab=0a=0或b=0.而在向量运算中ab=0a=0或b=0是错误的，故a0或b0是ab=0的充足而不用要条件.当a与b同向时ab=|a|b|(=0,cos=1);当a与b反向时，ab=-|a|b|(=,cos=-1)，即ab的另一个充要条件是|ab|a|b|.当rrrr0是为锐角时，a?b0，且a、b不一样向，ab为锐角的必需rrrr非充足条件；当为钝角时，a?b0，且a、b不反
7、向，ab0是为钝角的必需非充分条件；例5.如已知a(,2)，b(3,2)，假如a与b的夹角为锐角，则的取值范围是_（答：4或0且13）；3例6、已知i,j为互相垂直的单位向量，ai2j，bij。且a与b的夹角为锐角，务实数的取值范围。.精选文档剖析：由数目积的定义易得“a,bab0”，但要注意问题的等价性。解：由a与b的夹角为锐角，得ab120.有1.t12而当atb(t2.此时其夹角不为锐角。0),即两向量同向共线时，有得t2故,22,1.2评析：特别提示的是：a,b是锐角与ab0不等价；相同a,b是钝角与ab0不等价。极易大意特例“共线”。特别状况有aaa22aa2x2y2=|a|。或|a
8、|=a=.假如表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|a|=(x1x2)2(y1y2)2|ab|a|b|。（因cos1）数目积不合适乘法联合律.如(ab)ca(bc).（因为(ab)c与c共线，而a(bc)与a共线）数目积的消去律不建立.若a、b、c是非零向量且acbc其实不可以获得ab这是因为向量不可以作除数，即1是无心义的.c(6)向量b在a方向上的投影bcosaba(7)e1和e2是平面一组基底,则该平面任一直量a1e12e2(1,2独一)uuuruuur21是三点P、A、B共线的充要条件.特别：.OP1OA2OB则1注意：起点相同，系数和是1。基
9、底必定不共线n1uuuruuuruuur例7、已知等差数列a的前n项和为Sn，若BOa1OAa200OC，且A、B、CO），则S200（2三点共线（该直线可是点）A50B.51例8、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C知足OC1OA2OB,此中1,2R且121,则点C的轨迹是_（直线AB）例9、已知点A,B,C的坐标分别是(3,1),(5,2),(2t,2t).若存在实数,使OCOA(1)OB,则t的值是:A.0B.1或1D.不确立例10以下条件中，能确立三点A,B,P不共线的是：AMPsin220MAcos220MBBMPsec220MAtan220MB.
