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1、第9招 特殊平行四边形的性质和判定综合应用的三种类型典例剖析如如图图，正正方方形形ABCD的的边边长长为为6.菱菱形形EFGH的的三三个个顶顶点点E，G，H分分别别在在正正方方形形ABCD的的边边AB，CD，DA上，且上，且AH2，连结，连结CF.例解题秘方解题秘方：特殊平行四边形的性质和判定的综合应用，特殊平行四边形的性质和判定的综合应用，就是从四边形边、角、对角线的特征进行就是从四边形边、角、对角线的特征进行判断和应用本题中判断和应用本题中(1)由于四边形由于四边形EFGH为菱形，只需再证有一个内角是直角即可；为菱形，只需再证有一个内角是直角即可；(2)解题的关键是作辅助线：过点解题的关键
2、是作辅助线：过点F作作FMDC，交，交DC的延长线于点的延长线于点M，连结，连结GE，构造全等三角形，构造全等三角形典例剖析(1)当当DG2时，求证：菱形时，求证：菱形EFGH为正方形为正方形；证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形是正方形，DA90.四边形四边形EFGH是菱形，是菱形，HGEH.DGAH2，RtDGHRtAHE.DHGAEH.AEHAHE90，DHGAHE90，GHE90.菱形菱形EFGH为正方形为正方形典例剖析(2)设设DGx，试用含，试用含x的代数式表示的代数式表示FCG的面积的面积解：如图，过点解：如图，过点F作作FMDC，交交DC的延长线于点的延长线于点M，连结，连
3、结GE.四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，CDAB，AEGMGE.四边形四边形EFGH为菱形为菱形，HEFG，HEFG，HEGFGE.AEHMGF.类型特殊平行四边形中的操作型问题1分类训练1.四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变如当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变如图，改变正方形图，改变正方形ABCD的内角，正方形的内角，正方形ABCD变为菱变为菱形形ABCD.若若DAB45，则菱形，则菱形ABCD的面积与正方形的面积与正方形ABCD的面积之比是的面积之比是()C分类训练2.【点拨】四
4、边形四边形EFGH为正方形，为正方形，EGH45，FGH90.BGC90.GOGP，GOPOPG67.5，PBG22.5.四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，DBC45，GBC22.5，PBGGBC.分类训练3.对对于于边边长长均均为为a的的两两个个正正方方形形ABCD和和EFGH，按按图图所所示示的的方方式式摆摆放放，沿沿虚虚线线BD，EG剪剪开开后后，可可以以按按图图中所示的移动方式拼接为四边形中所示的移动方式拼接为四边形BNED.从拼接的过程容易得到结论：从拼接的过程容易得到结论：四边形四边形BNED是正方形是正方形S正方形正方形ABCDS正方形正方形EFGHS正方形正方形BNED.
5、实践与操作实践与操作(1)对对于于边边长长分分别别为为a，b(ab)的的两两个个正正方方形形ABCD和和EFGH，按按图图所所示示的的方方式式摆摆放放，连连结结DE，过过点点D作作DMDE，交交AB于于点点M，过过点点M作作MNDM，过过点点E作作ENDE，MN与与EN相交于点相交于点N.试试说说明明四四边边形形MNED是是正正方方形形，并并用用含含a，b的的代代数数式式表示正方形表示正方形MNED的面积；的面积；ADMCDE.DMDE.矩形矩形MNED是正方形是正方形DE2CD2CE2a2b2，正方形正方形MNED的面积为的面积为a2b2.在在图图中中，将将正正方方形形ABCD和和正正方方形
6、形EFGH分分别别剪剪开开后后，能能够够拼拼接接成成正正方方形形MNED，请请简简略略说说明明你你的的拼拼接接方法方法(类比图类比图，用数字表示对应的图形，用数字表示对应的图形)解：解：如如图，过点图，过点N作作NPBE，垂足，垂足为点为点P.将将5放到放到6的位置，将的位置，将4放到放到3的位置，的位置，将将1放到放到2的位置，能够拼接成正方的位置，能够拼接成正方形形MNED.(2)对对于于n(n是是大大于于2的的自自然然数数)个个任任意意的的正正方方形形，能能否否通通过过若若干干次次拼拼接接，将将其其拼拼接接为为一一个个正正方方形形？请请简简略略说说明明你的理由你的理由解：解：能能理由如下
7、：从上述的拼接过程可以看出：任意理由如下：从上述的拼接过程可以看出：任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形再拼接为一个正方形，以个正方形可以与第三个正方形再拼接为一个正方形，以此类推由此可见，对于此类推由此可见，对于n(n是大于是大于2的自然数的自然数)个任意的个任意的正方形，能通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形正方形，能通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形类型特殊平行四边形中的探究型问题2分类训练4.如如图图，在在正正方方形形ABCD中中，点点E为为对对角角线线BD上上一一点点，过过点点E作作EFBD交
8、交BC于于点点F，连连结结DF，点点G为为DF的中点，连结的中点，连结EG，CG.(1)求证：求证：EGCG.(2)将将图图中中的的BEF绕绕点点B逆逆时时针针旋旋转转45，如如图图，取取DF的的中中点点G，连连结结EG，CG.(1)中中的的结结论论是是否否仍仍然然成成立立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由解解：中：中的结论仍然成立证明如下：的结论仍然成立证明如下：如图，连结如图，连结AG，过点，过点G作直线作直线MNAD交交AD于点于点M，与，与EF的延长线交于点的延长线交于点N.点点G为为DF的中点，的中点，DGFG.易知四边形易知四边形A
9、ENM为为矩形矩形ENM90，即即FNG90.(3)将将图图中中的的BEF绕绕点点B旋旋转转任任意意角角度度，如如图图，取取DF的的中中点点G，连连结结EG，CG.(1)中中的的结结论论是是否否仍仍然然成成立立？通通过过观观察察，写写出出EG和和CG之之间间的的位位置置关关系系(不不要要求说明理由求说明理由)解：解：(1)中的结论仍然成立中的结论仍然成立EGCG.分类训练5.阅读阅读以下材料，然后解决问题：以下材料，然后解决问题：如如果果一一个个三三角角形形和和一一个个矩矩形形满满足足条条件件：三三角角形形的的一一边边与与矩矩形形的的一一边边重重合合，且且三三角角形形的的这这边边所所对对的的顶
10、顶点点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的的类型特殊平行四边形中的阅读理解型问题3“友好矩形友好矩形”，如图，如图所示，矩形所示，矩形ABEF为为ABC的的“友友好矩形好矩形”，显然，当，显然，当ABC是钝角三角形时，其是钝角三角形时，其“友好友好矩形矩形”只有一个只有一个(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行友好平行四边形四边形”；解解：如果：如果一个三角形和一个平行四边形满足条件一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形三角形的一边与平行四边形的一边重合，且三角形的的一边与平行四边形的一边重
11、合，且三角形的这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形友好平行四边形”(2)如图如图，若，若ABC为直角三角形，且为直角三角形，且C90，在图，在图中画出中画出ABC的所有的所有“友好矩形友好矩形”，并比较这些矩形，并比较这些矩形面积的大小；面积的大小；解：解：如如图图，共有两个，共有两个“友好矩形友好矩形”，分别为矩形，分别为矩形BCAD、矩形、矩形ABEF.易知矩形易知矩形BCAD、矩形、矩形ABEF的面的面积都等于积都等于ABC面积的面积的2倍，倍，ABC的两个的两个“友好矩形友好矩形”的面积相等的面积相等(3)若若ABC是是锐锐角角三三角角形形，且且BCACAB，在在图图中中画画出出ABC的的所所有有“友友好好矩矩形形”，指指出出其其中中周周长长最最小小的的矩形并加以证明矩形并加以证明解：解：如图如图，共有三个，共有三个“友好矩形友好矩形”，分别为矩形分别为矩形BCDE、矩形、矩形ACGF和矩形和矩形ABHK，其中矩形，其中矩形ABHK的周长最小的周长最小证明证明如下：易知这三个矩形面积相等，如下：易知这三个矩形面积相等，设它们的面积为设它们的面积为S，矩形，矩形BCDE、矩形、矩形ACGF和矩形和矩形ABHK的周长分别为的周长分别为L1，L2，L3，
