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1、一、双曲线的定义及图形画双曲线如图，先在图板上F1、F2处分别按上一个图钉，再把细绳扎牢在圆环M上，分两股绕过图钉F1、F2（可以滑动），且使|F1M|F2M|=2a（定长），再合起来穿过位于F1F2中点O处的小孔，在N处打上一个结，当拉住结N向下运动时，穿过环M的铅笔就可在图板上画出双曲线在右支上的一段，交换绕过F1、F2两股细绳的位置，又能画出双曲线在左支上的一段。如果改变F1与F2间的距离（仍保持O是F1F2的中点），还能画出开口大小不同的双曲线。双曲线的定义平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线
2、的焦距。1在此定义中“小于 ”这一限制条件十分重要，不可去掉。2如果定义中常数改为等于 ，此时动点轨迹是以为F1、F2端点的两条射线。3如果定义中常数改为大于 ，此时动点轨迹不存在。下面举出几个现实生活中及宇宙中行星及火箭运动轨迹是双曲线的例子。1当圆锥面与轴的夹角小于圆锥半顶角 ，且不过锥顶的平面相截时，截得的交线是双曲线的一支，如图（1）。2当不过圆锥面顶点的平面与圆锥面的两叶都相截时，就得到完整的双曲线，如图（2）。3飞离太阳系的宇宙火箭的轨道，飞过太阳系的慧星的轨道都是双曲线，如图（3）。双曲线的第二定义点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是双曲线，定
3、点是焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。对于双曲线 ，相应于焦点F (c，0)的准线是 ，根据对称性，相应于焦点F(c，0)的准线 ，所以双曲线有两条准线。第二定义中的定直线是任意直线，定点也是任意的，这样得到的双曲线方程，不一定是标准方程。 二、双曲线的标准方程焦点在x轴上，中心在原点的双曲线标准方程是（a，b），焦点F（c，0）；焦点在y轴上，中心在原点的双曲线标准方程是（a，b），焦点F（，c）。（1）a表示半实轴长，b表示半虚轴长，焦点在实轴上。（2）从方程形式上看：若x2系数为正，则焦点在x轴上；若y2系数为正，则焦点在y轴上。（3）在双曲线的方程中，a、b间没有固定的大小关系，如果ab，那么双曲线叫等轴双曲线，即方程为x2y2a2。（4）a、b、c的关系式：c2a2b2。
