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1、第6招 特殊四边形的性质在动点问题中的巧用例典例剖析如如图图，在在矩矩形形ABCD中中，AB4 cm，BC8 cm，点点P从从点点D出出发发向向点点A运运动动，运运动动到到点点A立立即即停停止止，同同时时点点Q从从点点B出出发发向向点点C运运动动，运运动动到到点点C立立即即停停止止点点P，Q的的速速度度都是都是1 cm/s，连接，连接AQ，CP，设设点点P，Q运动的时间为运动的时间为t s.解题秘方：解题秘方：解解动态条件问题的几何题，常利用逆向思动态条件问题的几何题，常利用逆向思维，即交换问题中的条件与结论的呈现方式，进行解维，即交换问题中的条件与结论的呈现方式，进行解答如将答如将“当当t为
2、何值时，四边形为何值时，四边形AQCP是菱形是菱形”改为改为“当四边形当四边形AQCP是菱形时，是菱形时，t的值是多少的值是多少”求出求出t的值即的值即可可(1)当当t为何值时，四边形为何值时，四边形AQCP是菱形是菱形？解解：由：由题易知题易知APCQ.四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，CDAB4 cm，ADBC8 cm，ADBC.四边形四边形AQCP是平行四边形是平行四边形要使四边形要使四边形AQCP是菱形，只需满足是菱形，只需满足APCP.由题意可知，由题意可知，DPt cm，则，则APCP(8t)cm.DP2CD2CP2，t216(8t)2，解得，解得t3.当当t3时，四边形时，四边
3、形AQCP是菱形是菱形(2)求求(1)中菱形中菱形AQCP的周长和面积的周长和面积解：由解：由(1)得菱形得菱形AQCP的边长为的边长为5 cm，菱形菱形AQCP的周长为的周长为5420(cm)，菱形菱形AQCP的面积为的面积为5420(cm2)技巧1巧用平行四边形的性质解动点问题分类训练1如如图图，在在 ABCD中中，对对角角线线AC，BD相相交交于于点点O，OA5，E，F为为直直线线BD上上的的两两个个动动点点(点点E，F始始终终在在 ABCD的的外外面面)，连接，连接AE，CE，CF，AF.(1)若若DE2OD，BF2OB，求求证证：四四边边形形AFCE为为平平行行四边形；四边形；【证明
4、】【证明】四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，OAOC，OBOD.DE2OD，BF2OB，DEBF.OEOF.四边形四边形AFCE为平行四边形为平行四边形(2)在在(1)的的条条件件下下，若若CA平平分分BCD，AEC60，求求四四边边形形AFCE的周长的周长【解】在【解】在 ABCD中，中，ADBC，DACBCA.CA平分平分BCD，BCADCA.DCADAC.ADCD.OAOC，OEAC.OE是线段是线段AC的垂直平分线的垂直平分线AECE.AEC60，ACE是等边三角形是等边三角形AECEAC2OA10.C四边形四边形AFCE2(AECE)2(1010)40.22023济济南
5、南外外国国语语学学校校模模拟拟已已知知等等边边三三角角形形ABC的的边边长长为为12，D为为射射线线BC上上一一动动点点(点点D不不与与B，C重重合合)，以以AD为边作菱形为边作菱形ADEF，使，使DAF60，连接，连接BF.技巧2巧用菱形的性质解动点问题(1)如图，当点如图，当点D在在BC边上时，求证：边上时，求证：ACDABF；【证明】【证明】ABC是等边三角形，是等边三角形，ABAC，BAC60.(2)在点在点D的移动过程中，当的移动过程中，当BF3时，求时，求BD的长度的长度【解】【解】等边三角形等边三角形ABC的边长为的边长为12，BC12.ACDABF，CDBF3.当点当点D在线段
6、在线段BC上时，上时，此时此时BDBCCD1239；当点当点D在线段在线段BC的延长线上时，的延长线上时，此时此时BDBCCD12315.综上所述，综上所述，BD的长度为的长度为9或或15.32023陕陕西西如如图图，在在矩矩形形ABCD中中，AB3，BC4.点点E在在边边AD上上，且且ED3，M，N分分别别是是边边AB，BC上上的的动动点点，且且BMBN，P是是线线段段CE上上的的动动点点，连连接接PM，PN.若若PMPN4，则，则线段线段PC的长为的长为_技巧3巧用矩形的性质解动点问题【点拨】4.如如图图，以以矩矩形形OABC的的顶顶点点O为为坐坐标标原原点点，边边OA所所在在直直线线为为
7、x轴轴，OC所所在在直直线线为为y轴轴，建建立立如如图图所所示示的的直直角角坐坐标标系系，已已知知A(a，0)，C(0，b)，其其中中a，b满满足足|a4|(b6)20，点，点P从点从点O出发沿出发沿OA以每秒以每秒1个个单位单位长度的速度向点长度的速度向点A运动，同时点运动，同时点Q从从点点B出发沿出发沿BA以每秒以每秒1个单位长度的个单位长度的速速度度向点向点A运动，设运动时间为运动，设运动时间为t s(0t4)(1)a_，b_；(2)当当t2时，判断时，判断PCQ的形状，并说明理由的形状，并说明理由46【解解】当当t2时，时，PCQ是等腰直角三角形理由如下：是等腰直角三角形理由如下：由题
8、易知由题易知OPBQt，AQ6t，AP4t.当当t2时，时，OPBQ2，AQ624，AP422.5在在正正方方形形ABCD中中，点点O为为对对角角线线AC的的中中点点，点点E在在对对角角线线AC上上，连连接接EB，点点F在在直直线线AD上上(点点F与与点点D不不重重合合)，且，且EFEB.技巧4巧用正方形的性质解动点问题(1)如如图图，当当点点E在在线线段段AO上上(不不与与端端点点重合重合)时，时，求证：求证：FABE；【证明】如图【证明】如图，连接，连接DE.四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABAD，BAD90，BACDAC45.又又AEAE，ABEADE(SAS)BEDE，ABEADE.EFBE，DEEF.FADE.FABE.用等式表示线段用等式表示线段AB，AE，AF的数量关系并证明的数量关系并证明(2)如如图图，当当点点E在在线线段段OC上上(不不与与端端点点重重合合)时时，补补全全图图形，并直接写出线段形，并直接写出线段AB，AE，AF的数量关系的数量关系【点拨】如如图图，过过点点E作作MNAD于点于点N，交，交BC于点于点M.四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABC BAD 90，ABBCAD，DAC45.
