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1、高中数学第二章平面向量2.1向量的概念及表示教案苏教版必修42.1向量的概念及表示教学分析1本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形、实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用，可通过几个具体的例子说明它的应用位移是物理中的基本量之一，也是几何研究的重要对象几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型力是常见的物理量重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量物理中还有其他力
2、，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础2在类比数量的抽象过程引出向量的概念后，为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量”，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题通过这样的比较，可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念实数与数轴上的点是一一对应的，数量常常用数轴上的一个点表示教科书通过类比实数在数轴上的表示，给出了向量的几何表示用有向线段表示向量用有
3、向线段表示向量，赋予了向量一定的几何意义有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么，向量的大小又该如何表示呢？一个自然的想法是用有向线段的长度来表示，从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念，为学习向量作了很好的铺垫3数学中，引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便，并使平面上的向量与向量
4、的坐标得以一一对应教学时可结合例题、习题说明这种思想4共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量当然，在同一直线上的向量也是平行向量要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念三维目标1通过实例，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念和确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别2理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念，并能判断向量之间
5、的关系，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量3在教学过程中，应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移这一特性4通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯加强数学的应用意识，切实做到学以致用用联系、发展的观点观察世界重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系教具准备实物投影仪，多媒体课件课时安排1课时导入新课思路1.如图1，图1在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论：追不上，猫
6、的速度再快也没用，因为方向错了教师适时设问：如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线引入新课也是一个不错的选择推进新课1向量既有大小又有方向的量叫做向量向量的大小叫做向量的长度(或称模)2向量的表示方法(1)字母表示法：如a、b、等(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量3零向量长度为零的向量，记为0，其方向是任意的4单位向量模为1个单位长度的向量5平行向量方向相同或方向相反的非零向量，也叫做共线向量. 规定：0与
7、任一非零向量平行a与b平行，记作ab.6相等向量长度相等且方向相同的向量，记作ab.7相反向量长度相等且方向相反的向量在物理课中，我们学过力的概念请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢？这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象出这些具有共同特征的量呢？教师指导学生阅读教材，思考讨论并解决上述问题，学生讨论列举与位移一样的一些量物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的，被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的，并且在弹性限度内，弹簧拉长
8、或压缩的长度越大，弹力越大；速度与加速度都是既有大小，又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向，且有大小；物理学中存在着许多既有大小，又有方向的量教师引导学生观察思考这些量的共同特征，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象，形成一种新的量？至此时机成熟，引入向量，并把那些只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量，物理学上称为标量显然数量和向量的区别就在于方向问题教师再次指导学生阅读教材，通过阅读教材思考讨论向量的表示方法、向量的长度、零向量，单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念特别是有向线段，是学习向量的关键但不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有
9、向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关如图2，图2在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点、B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向以A为起点、B为终点的有向线段记作，起点要写在终点的前面已知，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作|.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就惟一确定了用有向线段表示向量的方法是：起点是A，终点是B的有向线段，对应的向量记作：.这里要提醒
10、学生注意的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点用字母a，b，c，表示(一定要让学生规范书写：印刷用黑体a，书写用)向量(或a)的大小，就是向量(或a)的长度(或称模)，记作|(或|a|)教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较，数量有大小而没有方向，其大小有正、负和0之分，可进行运算，并可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小由于方向不能比较大小，所以像ab就没有意义，而|a|b|有意义注意：手写体上面的箭头一定不能漏写对于有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，其有三个要素：起点、方向、长度向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向
11、量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段长度为0的向量叫做零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的长度等于1个单位的向量，叫做单位向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量对于平行向量定义的理解：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，第二，我们规定0与任一向量平行即0a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a，b，c平行，记作abc.如图3.图3又如图4，a，b，c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出a，b，c.这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫
12、做共线向量图4这里一定要特别注意平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质，不能比较大小本章学习的向量都是平面内的自由向量，它们仅由方向和大小确定而与起点的位置无关例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由(1) ABCD中，与是共线向量；(2)单位向量都相等活动：教师引导学生画出平行四边形，如图5.图5因为ABCD，所以.由于上面已经明确，单位向量只限制了大小，方向不确定，所以单位向量不一定相等，即单位向量模均相等且为1，但方向不确定解：(
13、1)正确；(2)不正确点评：本题考查基本概念，对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好例2见课本本节例1.点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到让学生在训练中明确：向量相等不仅大小相等，还要方向相同对于相反向量，我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量(opposite vectors)，记作a，a与a互为相反向量并且规定零向量的相反向量仍是零向量于是，对任一向量a有(a)a.例3见课本本节例2.变式训练如图6，EF、GH将正方形ABCD分为4个单位正方形(边长为1个单位长度)图6(1)在以图中的点为端点的所有向量中，与平行的向量有哪些？其中单位向量有哪些？(2
14、)在以图中的点为端点的所有向量中，与相等的向量有多少个？试写出来解：(1)根据平行向量的定义，与平行的向量有：、.其中单位向量有：、向量平行的几何表示与平面几何中的直线(或射线、线段)平行不完全相同平面几何中平行的两条线不可以共线，而向量平行则可以“共线”(2)与相等的向量有：、.例4下列命题正确的是()Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的起点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行活动：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而
15、此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确对于C，其条件以否定形式给出，所以可从反面入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以只有C正确答案：C点评：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念特征入手，也可以从反面进行考虑，即要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可要启发学生注意这两方面的结合.变式训练1判断：(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若两个向量在同一直线上
