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1、数学公理化方法的意义和作用2008-9-27 16:06:49 摘自徐利治谈数学哲学 公理化方法在近代数学的发展中起过巨大的作用，可以说，它对各门现代数学都有极其深刻的影响即使在数学教学中，公理化方法也是一个十分重要的方法 所谓公理化方法(或公理方法)，就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用纯逻辑推理法则，把一门数学理论构造成为演绎系统的一种方法所谓基本概念和公理，当然必须反映数学实体对象的最单纯的本质和客观关系而并非人们自由意志的随意创造 众所周知，Hilbertl899年出版的几何学基础一书是近代数学公理化的典范著作该书在问世后的二三十年间曾
2、引起西方数学界的一阵公理热，足见其影响之大Hilbert的几何公理系统实际上是在前人的一一系列工作成果基础上总结出来的，书中的公理条目也曾屡经修改直到1930年出第七版时，还作了最后修改这说明一门学科的公理化未必是一次完成的，公理化过程是可以包含着一些发展阶段的 谈到数学公理化的作用，至少可以举出如下四点： (1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用凡取得了公理化结构形式的数学，由于定理与命题均已按逻辑演绎关系串联起来，故使用起来也较方便 (2)公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创 (3)数学公理化方法在科学方法论上有示范作用这
3、种方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用例如，20世纪40年代波兰的Banach曾完成了理论力学的公理化，而物理学家亦把相对论表述为公理化形式 (4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性和结构的和谐性确实符合美学上的要求，因而为数学活动中贯彻审美原则提供了范例数学公理化方法2007-09-19 23:302 数学公理化方法公理化方法在近代数学的发展中起过巨大的作用，它对于各门现代数学都有极其深刻的影响公理化方法是数学研究的一种基本方法，即使在数学教学中，也是一个十分重要的方法一、公理化方法的意义和作用所谓公理化方法，就是由尽可能少的不加定义的原始概念(基本概念)
4、和一组不加证明的原始命题(公理或公设)出发，运用逻辑规则推导出其余命题或定理，把一门数学建立成为演绎系统的一种方法公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑中广泛应用，而且已经远远超出数学的范围，渗透到其它自然科学领域甚至某些社会科学部门，并在其中起着重要作用1数学公理化方法具有分析、总结数学知识的作用当一门科学积累了相当丰富的经验知识，需要按照逻辑顺序加以综合整理，使之条理化、系统化，上升到理性认识的时候，公理化方法便是一种有效的手段如近代数学中的群论，便经历了一个公理化的过程当人们分别研究了许多具体的群结构以后，发现了它们具有基本的共同属性，就用一个满足一定条件的公理集合来定义群，形成一个群的公理
5、系统，并在这个系统上展开群的理论，推导出一系列定理2公理化方法作为数学研究的一个基本方法，不但对建立科学理论体系，训练人的逻辑推理能力，系统地传授科学知识，以及推广科学理论的应用等方面起到有益的作用，而且对于进一步发展科学理论也有独特的作用例如在代数方面，由于公理化方法的应用，在群论、域论、理想论等理论部门形成了一系列新的概念，建立了一系列新的联系并导致了一系列深远的结果；在几何方面，由于对平行公设的研究导致了非欧几何的创立因此，公理化方法也是在理论上探索事物发展规律，作出新的发现和预见的一种重要方法3公理化方法本身又成为科学研究的对象介乎于逻辑学和数学之间的边缘学科数理逻辑，用数学方法研究思
6、维过程中的逻辑规律，也系统地研究数学中的逻辑方法因此，数学中的公理方法是数理逻辑所研究的一个重要内容由于数理逻辑是用数学方法研究推理过程的，它对公理化方法进行研究，一方面使公理化方法向着更加形式化和精确化的方向发展，一方面把人的某些思维形式，特别是逻辑推理形式加以公理化，符号化这种研究使数学工作者增进了使用逻辑方法的自觉性4数学公理化方法在科学方法论上具有示范作用任何一门科学都不仅仅是搜集资料，也决不是一大堆事实及材料的简单积累，而都是有其自身的出发点和符合一定规则的逻辑体系公理化方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用例如牛顿在他的自然哲学的数学原理巨著中，系统地
7、运用公理化方法表述了经典力学理论体系；本世纪40年代波兰的巴拿赫完成了理论力学的公理化；爱因斯坦运用公理化方法创立了相对论理论体系狭义相对论的出发点是两个基本假设：相对性原理和光速不变原理爱因斯坦以此为前提，逻辑地演绎出四个推论：“尺缩效应”、“钟慢效应”、“质量增大效应”和“关系式”这些就是爱因斯坦运用公理化方法，创立的狭义相对论完整理论体系的精髓二、公理化方法的产生和发展公理化方法主要是从数学(主要是几何学)和逻辑学的发展中产生的一般认为公理化方法的历史发展大致可划分为产生、完善和形式化三个阶段1公理化方法的产生公理化方法发展的第一阶段是由亚里斯多德的完全三段论到欧几里得几何原本的问世大约
8、在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作几何原本他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理他总结概括出14个基本命题，其中有5个公设和9条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，
9、整理成为演绎体系几何原本一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑公理学研究的对象、性质和关系称为“论域”，这些对象、性质和关系，由初始概念表示例如欧氏几何原本中只需取“点”、“直线”、“平面”；“在之上”、“在之间”、“叠合”作为初始概念前三个概念所表示的三类对象和后三个概念所表示的三种关系就是这种几何的论域按照“一个公理系统只有一个论域”的观点建立起来的公理学，称为实质公理学这种公理学是对经验知识的系统整理，公理一般具有自明性因此，欧氏几何原本就是实质公理学的典范2公理化方法的发展几何原本虽然开创了数
10、学公理化方法的先河，然而它的公理系统还有许多不够完善的地方，其主要表现在以下几个方面：(1)有些定义使用了一些还未确定涵义的概念；(2)有些定义是多余的；(3)有些定理的证明过程往往依赖于图形的直观；(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理来证明或代替这些问题成为后来许多数学家研究的课题，并通过这些问题的研究，使公理化方法不断完善，并促进了数学科学的发展第五公设(即平行公设)内容复杂，陈述累赘，缺乏象其它公设和公理那样的说服力，并不自明因此，它能否正确地反映空间形式的性质，引起了古代学者们的怀疑从古希腊时代到公元18世纪，人们通过不同的途径和方法对这一问题进行了大量的研究工作，其中萨克里(
11、 Saccheri，16671733)和兰勃特( Lambert，1728-1777)等人考虑了两个可能的与平行公设相反的假设，试图证明出平行公设，但是他们的努力均归于失败然而，在这些失败中却引出了一串与第五公设相等价的新命题和定理，即非欧几何的公理和定理，它预示了一种新的几何体系可能产生19世纪年轻的俄国数学家罗巴切夫斯基(1792-1856)产生了与前人完全不同的信念：首先，他认为第五公设不能以其余的公理作为定理来证明；其次，除掉第五公设成立的欧氏几何之外，还可能有第五公设不成立的新几何系统存在于是，他在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理的前提下，引进与第五公设相反的公理，从而构造了一个全
12、新的几何系统，它与欧氏几何系统相并列后来人们又证明了这两个部分地相矛盾的几何系统竟是相对相容的，即假定其中之一无矛盾，则另一个必定无矛盾，这样以来，只要这两个系统是无矛盾的，第五公设与欧氏系统的其余公理就必定独立无关现在人们就用罗巴切夫斯基的名字命名了这一新的几何学，并把一切不同于欧氏几何公理系统的几何系统统称为非欧几何非欧几何的建立在数学史上具有划时代的意义，标志着人们对空间形式的认识发生了飞跃，从直观空间上升到抽象空间在建立非欧几何的过程中，公理化方法得到了进一步的发展和完善3公理化方法的形式化德国数学家帕斯(Moritz Pasch，1843-1930)通过对射影几何公理化基础的纯逻辑的
13、探讨，第一次从理论上提出了形式公理学的思想他认为，几何学如果要成为一门真正的演绎科学，最根本的是推导的进行必须完全独立于几何概念的涵义，同样地也必须不以图形为依据，而所考虑的只能是被命题或定义所确定的几何概念之间的关系就是说，一个公理系统必然要有本系统里不定义的概念，通过这些概念就可以给其它概念下定义，而不定义概念的全部特征必须由公理表达出来公理可以说是不定义概念的隐定义有些公理虽然是由经验提出来的，但当选出一组公理之后，必须不再涉及经验及物理意义公理决不是自明的真理，而是用以产生任一特殊几何的假定帕斯的这些思想已经表达了形式公理系统的特征随着数学的深入研究和射影几何公理系统的建立，形式公理学
14、的概念已经成熟1899年希尔伯特几何学基础一书的发表，不仅给出了欧氏几何的一个形式公理系统，而且解决了公理化方法的一系列逻辑理论问题这本著作成为形式公理学的奠基著作希尔伯特几何公理系统，除了有几何模型外，还可以有其它模型(如算术模型)，所以它是一个形式公理系统，可以把其初始概念和公理看成是没有数学内容的，数学内容是通过解释赋予它们的，初始概念和公理完全可以用形式语言来陈述因此，自从几何学基础问世以后，不仅公理化方法进入了数学的其它各个分支，而且也把公理化方法本身推向了形式化的阶段三、公理化方法的内容和公理系统的构造公理是对诸基本概念相互关系的规定，这些规定必须是必要的而且是合理的因此，一个严格
15、完善的公理系统，对于公理的选取和设置，必须具备如下三个基本要求：1相容性(或称无矛盾性、协调性)这一要求是指在一个公理系统中，不允许同时能证明某一定理及其否定理反之，如果能从该公理系统中导出命题A和否命题非A(记作-A)，从A与-A并存就说明出现了矛盾，而矛盾的出现归根到底是由于公理系统本身存在着矛盾的认识，这是思维规律所不容许的因此，公理系统的无矛盾性要求是一个基本要求，任何学科，理论体系都必须满足这个要求2独立性这一要求是指在一个公理系统中的每一条公理都独立存在，不允许有一条公理能用其它公理把它推导出来，同时使公理的数目减少到最低限度3完备性这就是要求确保从公理系统中能推出所研究的数学分支的全部命题，也就是说，必要的公理不能减少，否则这个数学分支的许多真实命题将得不到理论的证明或者造成一些命题的证明没有充足的理由从理论上讲，一个公理系统的上述三条要求是必要的，同时也是合理的至于某个所讨论的公理
