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1、高三数学第一轮复习讲义（54） 2004.11.11轨迹问题（1）一复习目标：1掌握求轨迹方程的两种基本方法直接法和定义法；2掌握直接法求轨迹方程的基本步骤二知识要点：1直接法求轨迹方程的一般步骤：建系设点列式代换化简检验2用定义法求轨迹方程的基本思路是：（1）用曲线的定义判断轨迹的形状（定型）；（2）判断轨迹的位置（定位）（3）求曲线的基本量（定量）；（4）写出轨迹方程三课前预习：1已知点、，动点，则点P的轨迹是（D） 圆 椭圆 双曲线 抛物线3点与点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程是 四例题分析：例1已知中，求点的 轨迹方程，并说明轨迹是什么图形解：以所在直线为轴，中点为原点建立直
2、角坐标系，则，设点的坐标为，由，得：，化简得：当时，轨迹为直线；当时，配方得：（1）时，方程为，轨迹为点；（2）时，轨迹是圆心为（），半径为的圆小结：例3已知两点，且点时成公差小于零的等差数列（1）点的轨迹是什么曲线？解：设，则成公差小于零的等差数列等价于，即所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆 1与两点距离的平方和等于38的点的轨迹方程是 （ ） 2与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是 （ ） 和 和3到点的距离与到直线的距离相等的点的轨迹方程为 （ ） 4动圆与轴相切，且与直线相交所得的弦长为，则动圆圆心的轨迹方程为 5长为的线段的两个端点分别在轴和轴上运动，则中点的轨迹方程为
3、 6已知直线l：yk(x5)及圆C：x2y216 (1)若直线l与圆C相切，求k的值； (2)若直线l与圆C交于A、B两点，求当k变动时，弦AB的中点的轨迹7已知两直线l1：2x3y20，l2：3x2y30，有一动圆M(圆心和半径都在变动)与l1，l2都相交，并且截l1，l2所得的弦长分别是定值26和24，求圆心M的轨迹方程8过M(1，3)作两条互相垂直的直线l1和l2，l1与x轴交于A点，l2与y轴交于B点，求线段AB中点的轨迹9 求与两定圆x2y21，x2y28x330都相切的动圆圆心的轨迹方程 高三数学第一轮复习讲义（54） 2004.11.28轨迹问题（2）一复习目标：1掌握求轨迹方程
4、的另几种方法相关点法（代入法）、参数法（交规法）；2学会用适当的参数去表示动点的轨迹，掌握常见的消参法二知识要点：1相关点法（代入法）：对于两个动点，点在已知曲线上运动导致点运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为然后将其代入已知曲线的方程即得到点的轨迹方程2参数法（交规法）：当动点的坐标之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量，并用表示动点的坐标，从而动点轨迹的参数方程消去参数，便可得到动点的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有的范围确定出的范围三课前预习：1已知椭圆的右焦点为，、分别为椭圆上和椭圆外一点，且点分的比为，则点的轨迹方程为 （ ） 2设动
5、点在直线上，为坐标原点，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角三角形，则动点的轨迹是 （ ） 两条平行直线 抛物线 双曲线 3已知点在以原点为圆心的单位圆上运动，则点的轨迹是 （ ）圆 抛物线 椭圆 双曲线4双曲线关于直线对称的曲线方程是5倾斜角为的直线交椭圆于两点，则线段中点的轨迹方程是四例题分析：例1动圆，过原点作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程解：（一）直接法：设为过的任一条弦是其中点，则，则 ，即（二）定义法：，动点在以为圆心，为直径的圆上，所求点的轨迹方程为（三）参数法：设动弦的方程为，由 得：，设，的中点为，则：， 消去得小结：例2求过点，离心率为，且以轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方
6、程解：设椭圆下方的焦点，椭圆的下方的顶点为由定义，即点的轨迹方程是，又，点的轨迹方程为例3设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求： （1）动点P的轨迹方程； （2）的最小值与最大值. （1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 的解.将代入并化简得，所以于是 设点P的坐标为则消去参数k得 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程，所以点P的轨迹方程为解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以 得，所以当时，有 并且 将代入并整理得 当时，点A、B
7、的坐标为（0，2）、（0，2），这时点P的坐标为（0，0）也满足，所以点P的轨迹方程为 五课后作业： 班级 学号 姓名 1抛物线经过焦点的弦的中点的轨迹方程是 （ ） 2已知椭圆的左、右顶点分别为和，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为和，其中的纵坐标为正数，则直线与的交点的轨迹方程 （ ） 3已知抛物线的顶点为，那么当变化时，此抛物线焦点的轨迹方程是_4自椭圆上的任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为 5已知椭圆的两个焦点分别是F1、F2，MF1F2的重心G恰为椭圆上的点，则点的轨迹方程为 6如图， 7设为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量，若向量 ，求点的轨迹C的方程7某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚，已知各观测点到中心的距离都是，试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为；相关各点均在同一平面上）8设双曲线的离心率为，右准线与两条渐近线交于两点，右焦点为，且为等边三角形（1）求双曲线的离心率的值；（2）若双曲线被直线截得的弦长为，求双曲线的方程；（3）设双曲线经过点，以为左焦点，为左准线的椭圆，其短轴的端点为，求中点的轨迹方程
