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1、数列求和的各种方法 数列求和的方法教学目标1熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题教学内容知识梳理1求数列的前n项和的方法(1)公式法等差数列的前n项和公式Snna1。等比数列的前n项和公式(）当q1时，Snna1；（)当q1时，Sn.常见的数列的前n项和：, 1+3+5+（2n1）=，等（2）分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解（3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项（4)倒序相加法这是推导等差数列前n项和时
2、所用的方法，将一个数列倒过来排序,如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和(5)错位相减法这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,主要用于求anbn的前n项和，其中an和bn分别是等差数列和等比数列(6）并项求和法一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型,可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099）（9897)(21)5 050.2。 常见的裂项公式(1)；(2)(）；(3）();（4）；（5)()(6)设等差数列an的公差为d，则（）数列求和题型考点一 公式法求和1.
3、（2016新课标全国)已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11,b2，anbn1bn1nbn.(1）求an的通项公式；(2）求bn的前n项和。2。(2013新课标全国,17）已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列.(1)求an的通项公式；(2）求a1a4a7a3n2.变式训练1.(2015四川，16）设数列an(n1，2，3，)的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列. (1）求数列an的通项公式； (2）设数列的前n项和为Tn，求Tn。2。(2014福建，17）在等比数列an中,a23,a581。（1）求an；（2）设bnlo
4、g3an，求数列bn的前n项和Sn。考点二 错位相减法1.(山东)已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 （）求数列的通项公式;（）令 求数列的前n项和Tn.2.(2015天津，18）已知数列an满足an2qan（q为实数,且q1），nN*，a11，a22，且a2a3，a3a4,a4a5成等差数列.（1）求q的值和an的通项公式；（2)设bn，nN，求数列bn的前n项和。变式训练1。(2014江西，17）已知首项都是1的两个数列an,bn(bn0，nN）满足anbn1an1bn2bn1bn0.（1）令cn，求数列cn的通项公式；(2）若bn3n1，求数列an的前n项和Sn。2。
5、（2014四川,19）设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x）2x的图象上(nN*）.（1）若a12，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列an的前n项和Sn；（2）若a11，函数f（x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2,求数列的前n项和Tn。3。（2015湖北，18）设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1a1，b22，qd,S10100。(1）求数列an，bn的通项公式；（2）当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn。4（2015山东，18）设数列an的前n项和为Sn。已知2Sn3n3。（1）求an的通项公式；
6、（2）若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.5.（2015浙江，17）已知数列an和bn满足a12，b11，an12an(nN*)，b1b2b3bnbn11（nN）.(1）求an与bn；(2）记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.6.(2015湖南，19）设数列an的前n项和为Sn，已知a11,a22，且an23SnSn13, nN。（1)证明:an23an；(2)求Sn.考点三 分组求和法1.（2015福建，17）在等差数列an中,a24,a4a715.（1)求数列an的通项公式；(2)设bnn，求b1b2b3b10的值.2.（2014湖南,16）已知数列an的前n项和
7、Sn，nN.(1)求数列an的通项公式；（2）设bn(1)nan，求数列bn的前2n项和.变式训练1.(2014北京，15)已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420,且bnan为等比数列。（1）求数列an和bn的通项公式；（2)求数列bn的前n项和。考点四 裂项相消法1.(2015新课标全国，17）Sn为数列an的前n项和已知an0，a2an4Sn3。(1)求an的通项公式；(2）设bn，求数列bn的前n项和2。(2011新课标全国，17)等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，a9a2a6。(1）求数列an的通项公式;（2）设bnlog3a1log3a2l
8、og3an，求数列的前n项和3.(2015安徽，18)已知数列an是递增的等比数列，且a1a49,a2a38.（1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn。变式训练1。(2013江西，16）正项数列an满足:a（2n1)an2n0。(1）求数列an的通项公式an；（2）令bn，求数列bn的前n项和Tn。2。(2013大纲全国，17)等差数列an中，a74,a192a9.(1)求an的通项公式;（2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.3.在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San。（1)求Sn的表达式；（2）设bn，求bn的前n项和T
9、n。考点五 倒序相加法已知函数f（x)(xR)（1)证明：f(x）f(1x）；(2）若Sf()f（)f()，则S_。变式训练1。设f(x)，若Sf（）f(）f(），则S_。考点六 并项求和1.(2012新课标,16)数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为_.2.（2014山东，19）在等差数列an中,已知公差d2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn,记Tnb1b2b3b4(1）nbn，求Tn。变式训练1。(2014山东理，19）已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn,且S1，S2,S4成等比数列.（1)求数列an的通项公式；（2）令bn
10、(1)n1，求数列bn的前n项和Tn。2.(2013湖南，15)设Sn为数列an的前n项和，Sn（1)nan,nN*，则:(1）a3_；(2)S1S2S100_。考点七 数列|an|的前n项和问题1。(2011北京，11)在等比数列an中，若a1，a44，则公比q_；a1|a2|an_变式训练1.（2013浙江，19）在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1，2a22,5a3成等比数列。(1)求d，an;(2）若d0，求a1|a2|a3|an|.考点八 周期数列1。已知数列2 008，2 009，1，2 008,2 009,这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2 014项之和S2 014等于()A2 008 B2 010 C1 D0变式训练1.(2012福建)数列an的通项公式anncos,其前n项和为Sn，则S2 012等于(）A.1 006 B。2 012 C。503 D.0考点九 数列与不等式的应用 1（2014新课标全国，17）已知数列an满足a11，an13an1。(1）证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明。2.(2015浙江，20)已知数列an满足a1且an1ana(nN*）(1) 证明:12（nN)；(2）设数列a的前n项和为Sn，证明:(nN)3。（2013江西，理）正项数列an的前
