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1、圆锥曲线的综合问题【要点回顾】1. 直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立, 消去变量y （或x）得关于变量x（或y）的方程：ax2+bx+c = 0（或ay2+by+c = 0）.若aO,可考虑一元二次方程的判别式A,有：A0o直线与圆锥曲线II交；A =0o直线与圆锥曲线槌切；A0o直线与圆锥曲线相离.若&=0且bHO,则直线与圆锥曲线相交，且有二个交点.2. 圆锥曲线的弦长问题设直线1与圆锥曲线C相交于A、B两点，A（x , y）, B（x , y ）,1 1 2 2贝ij弦长|AE| =Vi+fe|xi-x-y|.【热身练习】X2 y21
2、. （教材习题改编）与椭圆-+j=l焦点相同，离心率互为倒数的双曲 线方程是（）xsys33A. y2=1B.y-X2=lC.-X2-y2=i33D -V2X2= 14y 8解析：选A设双曲线方程为学一三=1(&0，b0),厂&2 + b2 = C2,s CrX2贝!j =2,得a=l, b=p3.故双曲线方程为y2=1.lc=2,2. (教材习题改编)直线y=kxk+1与椭圆扌+寸=1的位置关系是()A.相交 B.相切C.相离 D.不确定解析：选A由于直线y=kxk+1 =k(x1) +1过定点(1, 1),而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交.3. 过点(0,1)作直线，使它与抛物线y
3、2=4x仅有一个公共点，这样的直 线有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条解析：选C结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x=0, 过点(0, 1)且平行于x轴的直线以及过点(0, 1)且与抛物线相切的直线(非直线 x=0).坐标为(0, a)，故M点的坐标为(一0, 2)代入椭圆方程得a2=3b2,则C2=2b2,b0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另 个交点为M,与y轴的交点为B，若| AM= MB|,则该椭圆的离心率为.解析：由题意知A点的坐标为(一a, 0), l的方程为y=x+a,所以B点的 则吕故。=a2 335. 已知双曲线方程是X2=1,过定点P(2,1)作
4、直线交双曲线于P1, P2 两点，并使P(2,1)为P1P2的中点，则此直线方程是.y2y2y y解析：设点 P1 (x1, y1), P2 (x2, y2),则由 Xf皆=1, X2胃=1,得 k=x x | x 2x4= 厂=4,从而所求方程为4xy7 = 0.将此直线方程与双曲2 1线方程联立得14x2 56x+51=0, A0,故此直线满足条件.答案：4x y 7 = 0【方法指导】1直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取 值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应 用.2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”
5、设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设 而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应x + 2k2又因为点A(2,0)到直线y=k(x1)的距离d=y=,1112221222X2 1充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功 倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分 布找范围，曲线定义不能忘”.【直线与圆锥曲线的位置关系】X2 y2例1(2012 北京高考)已知椭圆C： a+b=1(ab0)的一个顶点为a2 b2A(2,0)，离心率为密直线y=k(x 1)与椭圆C交于不同的两点M, N
6、.(1) 求椭圆C的方程；(2的面积为护时，求k的值.a2=b2+c2,y=k x1,得(1 + 2k2)X24k2x+2k24 = 0.设点M, N的坐标分别为(x , y ), (x , y),贝y 2 24k22k24y =k(x 1), y =k(x 1), x +x =, xx= 匚,112212 1 +2k21 2 1+2k2x x 2+ y y 2=1+k2 x +x 24x x 2 1 2 1 1 2 1 24+6k2所以AAMN的面积为S=1MN| d=!2严.由气生二乎， 解得k=1.【由题悟法】研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方 程组成的方程
7、组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形 结合的方法求解.【最值与范围问题】例2(2012 浙江高考)如图，椭圆C： |+y2=1(ab0)的离心率为2,其左焦点到点P(2, 1)的距离为冷百不过原点0的直线l与C相交于A, B 两点，且线段AB被直线0P平分.(1) 求椭圆C的方程；(2) 求厶ABP面积取最大值时直线l的方程.【试一试】1.(2012 信阳模拟)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.1 1_2，2_B. 2,2C. 1,1D. 4,4解析:选C易知抛物线y2=8x的准线x=2与x轴的交点为
8、Q(2,0)， 于是，可设过点Q(2,0)的直线l的方程为y=k(x+2)(由题可知k是存在 的),自主解答(1)设椭圆左焦点为F( c,0)，则由题意得得c=1,a=2.设A(x1, y1), B(x2, y2)，线段AB的中点为M.y2 = 8x, 联立 ,k2X2+(4k28)x+4k2 = 0.、y=k x+2当k=0时，易知符合题意；当kM0时，其判别式为A = (4k2 8)2 16k4= 64k2 + 6420,可解得一1WkW1.Q2 + c=V10,0,8 kmxi+x2=3T忑4m212 乜起=3+4k2-/ 4km3m 所以线段AB的中点为从一右，因为M在直线P： y=2
9、x上，所以咼=熬23得m=0(舍去)或k=0.此时方程为3x2 3mx+m2 3 = 0,则x +x =m,1 2A=3(12m2)0,m2 3所以 |AB| =pl+k2 |XxJ= 寸 12m2,设点P到直线AB的距离为d,则d |8 2m|2|m4|d=T-设厶ABP 的面积为 S,则 S=j|AB| d=j 冷 m4 2 12m2 .2 6其中 me( 2：3 0)U(0,2：3).令 u(m) = (12m2)(m4)2, me 一2叮3, 2：3 ,U(m) = 4(m4)(m22m6) =4(m4)(ml/?)(ml+,：7). 所以当且仅当m=1 /7时，u(m)取到最大值.故
10、当且仅当m=1 ：7时，S取到最大值.综上，所求直线l的方程为3x+2y+2；J7 2 = 0.【由题悟法】1. 解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法.(1) 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性 质来解决，这就是几何法；(2) 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目 标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法.2. 在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：(1) 利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2) 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个 参数之间建立等量关系；(3)
11、利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4) 利用基本不等式求出参数的取值范围；(5) 利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.【试一试】2.(2012 东莞模拟)已知抛物线y2 = 2px(pM0)上存在关于直线x+y=l对称的相异两点，则实数p的取值范围为()A.3,0B.(o, 3y直线A2B的方程为丫=a(xa).2x a1C.2,0D(o, 2由得y2=X22(x2a2).1解析：选B设抛物线上关于直线x+y =1对称的两点是M (x, y)、N(x,2 y2)，设直线MN的方程为y=x+b.将y=x+b代入抛物线方程，得X2+ (2b 2p)x+b2 = 0
12、,则 x+x =2p2b, y +y = (x +x ) +2b = 2p，则 MN 的中点 P2 12 12的坐标为(pb, p).因为点P在直线x+y= 1上，所以2pb=1,即b=2p 1.又 A = (2b 2p)24b2 = 4p28bp0,将 b = 2p 1 代入得 4p28p(2p21)0,即 3p2 2pV0,解得 0VpVjX2 y2由点 A(x1，y1)在椭圆 C0上，故ai+b1=1-从而 y2 = b2l 1 X2aX2 y2，代入得arb：=1(xa，y)(2)证明：设A，(x2, y2),由矩形ABCD与矩形A，B，C，D，的面积相等, 得 4IxJIyJhAlx
13、JJyJ,故 乂2丫2=乂2丫2.因为点A, A，均在椭圆上，所以b2X( 1 X2a= b2X2( 1 一X2【定点定值问题】X2 y2例3 (2012 辽宁高考)如图，椭圆C : a-+b-=1(ab0, a, b为常数),0 a2 b2动圆C ： x2+y2 = t2，bta.点A , A分别为C的左，右顶点，C与C相交于1 11 12 0 1 0A, B, C, D 四点.(1) 求直线AA与直线A B交点M的轨迹方程；1 2(2) 设动圆C：X2+y2 = t2与C相交于A,BC, 四点，其中bt a,2 20 2t1t2若矩形ABCD与矩形A，Bz C D，的面积相等，证明：t+1；为定值.自主解答 设 A(x , y ), B(x,y)，又知 A ( a, 0), A (a, 0),2则直线A”的方程为丫=x+a(x+a)，1由 t工t2，知 X工X2，所以 X1+X2 = a2，从而 y1+y2=b2, 因此
